problema de extensión finita del campo

Question

Tal vez alguien sabe como demostrar el siguiente teorema algebraico:

$C \subset U$ es una extensión de campo y $N \subset U$ así, que todas las $x \in N$ algebraicas $C$ y $C[N]=\left\lbrace f(x_1,\dotsc,x_n); n \in \mathbb{N}, f \in C[X_1,\dotsc,X_n], x_1,\dotsc,x_n \in N \right\rbrace$. A continuación:

(A) $C[N]$ es una extensión de campo de $C$.

(B) todas las $x \in C[N]$ son algebraicos sobre $C$.

Answer 1

Primera prueba (B): a cada elemento de a $C[N]$ es una expresión polinómica $f(x_1,\dots,x_n)$ en elementos de $x_1, \dots, x_n$ que son algebraicos sobre $C$ y, por tanto, sí es algebraico sobre $C$.

Como ya se señaló en los comentarios, para (A), es claro que $C[N]$ es cerrado bajo la multiplicación, suma, resta; lo que queda es mostrar que es cerrado bajo de tomar la recíproca.

Empezar con $0 \neq a \in C[N]$ y la mirada en el sub-anillo $C[a]$$C[N]$. Por (B), $a$ es algebraico sobre $C$, lo que hace que $C[a]$ en una expresión algebraica campo de extensión de $C$. Por lo $a^{-1} \in C[a] \subseteq C[N]$.

(Tenga en cuenta que el hecho de que $C[x]$ es una expresión algebraica de extensión de campo no directamente - o con inducción de probar ambos (A) y (B), como $N$ podría ser infinito; el punto de este ejercicio es que parece ser que usted tenga que restringir la atención a un finito subconjunto de $N$.)

Si no (todavía) saber que $C[a]$ es en realidad un campo, te voy a mostrar por qué $a^{-1} \in C[a]$, lo cual es suficiente aquí.

Decir $g(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_0 \in C[x]$ es el polinomio mínimo de a$a$$C$. Entonces $$a(c_n a^{n-1} + c_{n-1} a^{n-1} + \dots + c_1) = -c_0.$$ Tenga en cuenta que $c_0 \neq 0$ porque $g$ es el mínimo polinomio y, por tanto, $$a^{-1} = -c_0^{-1}(c_n a^{n-1} + c_{n-1} a^{n-1} + \dots + c_1) \in C[a].$$