Dimensión del cociente de espacio proyectivo

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo con características distintas de $2$.

Quiero calcular la multiplicidad de la intersección de los puntos que se encuentran en $V_{1} \cap V_{2}$ donde:

$V_{1}=V(x^{2}+y^{2}-z^{2}) \subseteq \mathbb{P}^{2}$ $V_{2}=V(x^{2}+y^{2}-2z^{2}) \subseteq \mathbb{P}^{2}$.

Hacer el bien, el álgebra muestra se intersecan en dos puntos $[1:i:0]$$[1:-i:0]$. Por el teorema de Bezout sabemos que la suma de las multiplicidades es igual a $4$ derecho?

Ahora, como yo entiendo, para el cálculo de la multiplicidad en $[1:i:0]$ necesitamos tomar un gráfico que contiene este punto sí? para que podamos decir $x=1$, entonces tenemos que calcular la dimensión de los siguientes vectores en el espacio:

$k[y,z]/(1+y^{2}-z^{2},1+y^{2}-2z^{2})$

Macaulay dice que la dimensión es igual a $4$ pero no es esto imposible? esto obligaría a que la intersección de la multiplicidad de el otro punto es cero, pero esto es imposible porque el punto se encuentra en la intersección.

¿Qué estoy haciendo mal?

EDIT: es el error que estamos tomando un gráfico que contiene también el punto de $[1:-i:0]$?, es decir, debemos tomar un gráfico que contiene los $[1:i:0]$ pero no $[1:-i:0]$? podemos tomar, a continuación,$x=1$$z=1$?

Answer 1

Llame a $P_1=[1:i:0]$ $P_2=[1:-i:0]$ los dos puntos de intersección de los círculos.

Todos los de Euclides (o Descartes) buenos viejos círculos $C\subset \mathbb A^2_{\mathbb C}$ con la ecuación de $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ tienen su cierre $\overline C=C\cup \lbrace P_1,P_2\rbrace\subset \mathbb P^2_{\mathbb C}$ obtenido por la adición de los mismos dos puntos de $P_1,P_2$.
Por esa razón, estos puntos se llamaba cíclico puntos en la geometría proyectiva de los 19 y principios del siglo 20.
En otras palabras, los círculos son las tres dimensiones del sistema lineal obtenido a partir de las cinco dimensiones del sistema de todas las cónicas mediante la exigencia de que la cónica ir a través de la cíclico puntos.

De regreso a su problema después de este recordatorio nostálgico.

En el gráfico de $x=1$ $\mathbb P^2_{\mathbb C}$ tus círculos han hecho las ecuaciones
$1+y^2-z^2=0$ $1+y^2-2z^2=0$.
Su intersección corresponden a un álgebra de dimesion $4$ como su electrónica siervo dice, pero se ha perdido el punto de que este toma en cuenta tanto $P_1$ $P_2$ que han coordenadas $y=\pm i,z=0$.
Si usted quiere ver lo que está pasando en $P_1$ es conveniente considerar un nuevo sistema de coordenadas $(\eta=y-i,z)$ $\mathbb P^2_{\mathbb C}$ en el barrio de $P_1$ (que tiene coordenadas $\eta=z=0$).
En ese sistema, la necesaria multiplicidad de intersección en $P_1$de los círculos $\overline C_1, \;\overline C_2$ está dado por

$$dim_\mathbb C (\mathcal O/\langle \eta (\eta+2i)-z^2,\eta (\eta+2i)-2z^2 \rangle )=dim_\mathbb C (\mathcal O/\langle \eta (\eta+2i),z^2\rangle )=2$$

donde $\mathcal O=\mathbb C[\eta, z]_{\langle \eta ,z\rangle }$ [tenga en cuenta que $\eta(\eta+2i)=y^2+1$ y $\eta + 2i$ es invertible en a $\mathcal O$]

Los dos círculos $\overline C_1$ $\overline C_2$ son por lo tanto de la tangente en $P_1$ y, por supuesto, del mismo modo en $P_2$ .

Answer 2

Como he dicho antes en esta pregunta similar, el teorema 3 de la Sección 3.3 de Fulton Curvas Algebraicas da un algoritmo para el cálculo de la intersección número en un punto P. La interestion número es definido como la dimensión del espacio vectorial que usted está buscando.

Para el proyectiva caso de que usted necesita para dehomogenize con respecto a la "correcta" de la línea de reducir a la afín caso.

Hay algunos ejemplos aquí.

Answer 3

Para la variedad aquí otro enfoque para este problema específico.

En carácter 3 mod 4, las ecuaciones se definen en $\mathbb{F}_p$, y tanto $i$ $-i$ están en la misma Galois órbita; por lo tanto, también lo son los dos puntos, por lo que deben tener la misma multiplicidad.

El mismo argumento funciona en característica cero. De hecho (pero no he comprobado a fondo los detalles), si usted se siente cómodo con los esquemas, se puede aplicar a $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ a ver que la intersección de estas dos ecuaciones es la unión de:

• El grado-2 horizontal de la curva correspondiente a los puntos de $(1 : \pm i : 0)$$\mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$, con multiplicidad 2
• $\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_2}$ (con multiplicidad 1?)

Así que, para cualquier carácter $> 2$, podemos obtener el resultado por tomar el cruce con $\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_p} \subseteq \mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ debe