Encontrar la intersección de $8x + 8y +z = 35$ y
$x = \left(\begin{array}{cc} 6\\ -2\\ 3\\ \end{array}\right) +$ $ \lambda_1 \left(\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right) +$ $ \lambda_2 \left(\begin{array}{cc} 1\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right) $
Así que, he estado tratando de hacer esto de dos maneras diferentes. Una de ellas es convertir el formato vectorial para Cartesiano (el método que se muestra a continuación) y el otro era convertir a los Cartesiano ecuación en una ecuación vectorial y tratar de encontrar la ecuación de la recta de esa manera, pero yo estaba teniendo algunos problemas con ambos métodos.
La conversión a Cartesiano:
normal = $ \left(\begin{array}{cc} -4\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right) $
Cartesiano de x $=-4x + y -3z = 35$
Resolviendo simultáneamente con $8x + 8y + z = 35$, me sale el punto de $(7, 0, -21)$, en ambos planos, es decir, en la línea de intersección.
Luego de tomar la cruz de ambos normales, tengo un vector paralelo a la línea de intersección de a $(25, -20, -40)$.
Así que, me gustaría tener la ecuación vectorial de la recta que es:
$ \left(\begin{array}{cc} 7\\ 0\\ -21\\ \end{array}\right) +$ $\lambda \left(\begin{array}{cc} 25\\ -20\\ -40\\ \end{array}\right) $
Pero mi respuesta es:
$ \left(\begin{array}{cc} 6\\ -2\\ 3\\ \end{array}\right)+ $ $ \lambda \left(\begin{array}{cc} -5\\ 4\\ 8\\ \end{array}\right) $
Puedo ver que la dirección del vector es la misma, pero ¿por qué no la respuesta del punto satisfacen la ecuación Cartesiana me encontré?
También, ¿cómo puedo hacerlo si me convertí en el original Cartesiano ecuación en una ecuación vectorial? Acabo de comparar las dos ecuaciones vectoriales y solucionar utilizando una matriz ampliada? Yo lo intenté un par de veces, pero no podía obtener una respuesta razonable, tal vez sólo estoy haciendo simples errores, o esto no es el método correcto para que el vector forma?
