¿Las secuencias de Cauchy cuasi en general topología?

Question

Supongo que $(X,\tau)$ es un espacio topológico y que $(X^2,\tau_2)$ es el espacio del producto. Definir ahora

$\mathscr S!_\tau={W\in\tau_2|\Delta X^2\subseteq W}$, donde $\Delta X^2={(x,x)|x\in X}$,

y supongo que $(x_n)$ es una secuencia de $X$ tal que

$\forall S\in!\mathscr S!_\tau\exists N\in\mathbb N:(n,m>N\implies(x_n,x_m)\in S)$.

Entonces es posible deducir que $(x_n)$ tiene una clusterpoint $X$,

\exists x\in $ ! ¿X\; \forall \mathcal O\in\tau: (x\in\mathcal O\implies\forall N\in\mathbb N\, \exists n > N: x_n\in\mathcal O) $?

Answer 1

Sí, al menos si $X$ es de Hausdorff. Podemos probar el contrapositivo: Suponga que el $(x_n)_n$ sí no tiene ninguna acumulación de puntos, y vamos a demostrar que no es cuasi-Cauchy.

Deje $A=\{x_n\mid n\in \mathbb N\}$. Dado que la secuencia no tiene acumulación de puntos, cada subconjunto de $A$ es cerrado.

En particular, para cada $x_n$ el conjunto $B_n=X\setminus (A\setminus \{x_n\})$ está abierto, y la unión de todas las $B_n$s es $X$. Ahora $$ S = \bigcup_n (B_n)^2 $$ es en $\mathscr S$, pero $(x_n)_n$ no satisfacen los cuasi-Cauchy criterio con respecto a este $S$. Es decir, $(x_i,x_j)\in S$ si $x_i=x_j$, y si eso sucede para todos los $i,j>N$, $x_n$ es constante desde algún punto, contradiciendo la suposición de que no tiene la acumulación de puntos.