¿Cómo describimos el punto 1 en la línea afín?

Question

Los afín a la línea de $\mathbb{A}^1$ ( $Spec R$ ) es, como tengo entendido, $Spec R[x]$. Mi conjetura es que el $0\in \mathbb{A}^1$ está dado por la (opuesto) de los compuestos homomorphism $R[x] \to R \to F$ donde el primer mapa envía un polinomio a su término constante y el segundo es la canónica mapa para el campo de fracciones de $F$$R$. Lo del anillo homomorphism $R[x] \to F$ nos da $1 \in \mathbb{A}^1$?

Editar:

Ok, cierra los puntos de $\mathbb{A}^1$ (sobre un campo k) corresponden a los ideales de la $(x-a) \subset k[x]$ o, equivalentemente, el cociente de los mapas de $k[x] \to k[x]/(x-a)$. Así que 0 corresponde a $k[x] \to k$ (en consonancia con mi pregunta, como declaró en un principio) y 1 se corresponde (supongo) a $k[x] \to k[x]/(x-1)$. Esto debe extenderse fácilmente a los anillos con unidad. Es esto correcto? ¿Cómo podemos extender esto a los anillos, teniendo en cuenta que puedo tener mal que se pasa a los campos de fracciones.

Answer 1

Si$r\in R$, hay un$R$ - punto en$\mathbb A^1$ dado por el mapa$R[x]\to R$ dado por la evaluación de polinomios en$r$.

Answer 2

Si$R$ es un anillo (no necesariamente un campo), entonces$0$ no es un punto de Spec$\mathbb A^1$, es una sección. A saber, hay un mapa natural Spec$\mathbb A^1 \to$ Spec$R$, que corresponde al mapa$R \to R[x]$, y para cualquier$r \in R$ (si es$0$,$1$ o algún otro elemento) el mapa$R[x] \to R$ dado por la asignación$x$ a$r$ da una sección Spec$R \to \mathbb A^1$ que es una sección del mapa natural.

Agregado: como Mariano escribe en su respuesta, tales secciones son los llamados$R$ - puntos valiosos de$\mathbb A^1$.