Lo hexahedra caras con las áreas de exactamente 1, 2, 3, 4, 5, y 6 unidades?

Question

He intentado durante un tiempo, no muy duro, para construir un poliedro con exactamente seis caras, cuyas áreas fueron respectivamente 1, 2, 3, 4, 5, y 6 unidades. Yo no cumplir con algún éxito. Aún así, parece que debería existir, porque el espacio de posibilidades es tan grande y tan débilmente limitada. Tal vez usted podría hacer uno quitando dos de los vértices de un tetraedro.

Para ser más específicos, no me importa si el hexahedron es normal o si sus caras son regulares, o de la misma forma. Yo prefiero que sea convexo.

Answer 1

Organizar seis vectores con longitudes $(1,2,3,4,5,6)$ la cabeza a la cola, de modo que se forma un bucle cerrado en $\mathbb{R}^3$. Como usted dice, hay un gran espacio de posibilidades. Un método sería la primera colocarlos en un plano que forma un bucle y, a continuación, se retuerza un par en 3D. Usted puede formar un plano de bucle por la inscripción de la cadena en un gran círculo, y la reducción de la radio de la círculo hasta que la cadena se cierra un bucle.

Uno tiene estos seis no coplanares vectores, aplicar Minkowski del Teorema:

Teorema (Minkowski). Deje $A_i$ ser caras positivas áreas y $n_i$ distintos, no coplanares unidad de cara normales, $i=1,\ldots,n$. Entonces si $\sum_i A_in_i =0$, no es un cerrado poliedro cuyas caras áreas únicamente se dan cuenta de esas áreas y normales.

_{(Véase Cap. 7, pág. 311: Aleksandr D. Alexandrov. Poliedros Convexos. Springer-Verlag, Berlín, 2005. Monografías en Matemáticas. Traducción de la década de 1950 ruso edición a cargo de N. S. Dairbekov, S. S. Kutateladze, y A. B. Sossinsky.)}

Escribí una nota sobre esto: "Poliedros Convexos Darse Cuenta Dado Áreas De La Cara," arXiv:1101.0823 [cs.DM], 4Jan11. Aquí está una sugerente figura de mi papel, que se refiere a un método de distribución de los vectores en el espacio:
             
Algunos aspectos computacionales de Minkowski del Teorema se discuten en el Geométrica de Plegamiento de Algoritmos: los Vínculos, Origami, Poliedros, p.340. Por supuesto, usted no necesita que la generalidad para resolver este problema específico de la instancia.