Las líneas rectas son Minimizers estricta de Arclength en espacio euclidiano

Question

Deje $a$ $b$ dos puntos en un espacio euclidiano $\mathbb{R^n}$

Entonces,me indican por $\Omega(a,b)$ conjunto de todos los mapas de $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^n$ tal que $\gamma(0) = a,\gamma(1) = b$ y la integral

$$ L(\gamma) = \int^1_0 \|\dot\gamma(t) \| \; \mathrm{d}t $$

hace sentido. Para lograr la existencia de la integral es posible demanda de los caminos a ser suave,$(\Omega(a,b) \subset C^k)$. Pero yo delgada es posible plantear esta pregunta sólo entonces los caminos son sólo derivable en casi todas partes con respecto a la medida de Lebesgue en $[0,1].$

Es fácil ejercicio para demostrar que para que paramétrica de la línea recta $$ \lambda(t) = (1 - t)a + t b $$ se sostiene que: $$ \forall \gamma \en \Omega(a,b) \; . \; L(\gamma) \ge d(a,b) = \| b - a\| = L(\lambda) $$

El problema es mostrar que la desigualdad anterior es estricta para $\gamma \not \cong \lambda$ i. e. $L(\gamma) > L(\lambda)$ para todas las vías lisas o para una.s. diferenciable continua caminos o probar un contraejemplo.

Creo que lo adecuado es hablar de clases de equivalencia aquí formado por la relación $$ \alpha \cong \beta \iff \mathrm{Im}\; \alpha = \mathrm{Im} \; \beta$$

(usted probablemente puede agregar casi seguramente la primera medida de Hausdorff si desea razón acerca de una. s. diferenciable caminos) como queremos razón acerca de las formas geométricas de las curvas y sobre las trayectorias de las partículas. A continuación, debe ser posible seleccionar una velocidad constante de la curva en cada clase. Es decir, una curva de $\gamma$ tal que $$ \forall t \en [0,1] \; . \; \| \dot \gamma(t) \| = C . $$

Entonces el problema se reduce a mostrar que si la constante de velocidad de la curva de $\gamma$ ha

$ \| \dot \gamma(t) \| = d(a,b), a continuación,$\gamma = \lambda$. $

Pero no sé cómo continuar a partir de aquí.

Answer 1

En términos más generales, una curva continua $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^n$ tiene una longitud finita si $$\overline{L}(\gamma) = \sup\limits_\sigma \left(L(\sigma) = \sum_{i=1}^{n-1} \Vert \gamma(a_{i+1}) - \gamma(a_i)\Vert\right)$$ is finite where the supremum is taken on all subdivisions $\sigma \colon 0=a_1 < a_2 < \dots < a_{n-1} < a_n=1$ of $[0,1]$.

Si $\gamma$$\mathcal C^1$, se puede probar que

$$\overline{L}(\gamma) = L(\gamma)=\int^1_0 \|\dot\gamma(t) \| \; \mathrm{d}t.$$

Ahora está claro que $$\overline{L}(\gamma) \ge \Vert \gamma(1) - \gamma(0) \Vert$$

de acuerdo a subbadditivity de la norma $\Vert \cdot \Vert$.

Si $\gamma(a)$ $a \in (0,1)$ no está en el segmento de $[\gamma(0),\gamma(1)]$, luego $$\overline{L}(\gamma) \ge \Vert \gamma(1) - \gamma(a) \Vert + \Vert \gamma(a) - \gamma(0) \Vert > \Vert \gamma(1) - \gamma(0) \Vert$$

la conclusión de la prueba de que la longitud de curva es estrictamente mayor que la línea recta si la curva no es una línea recta.

Answer 2

Probablemente debería considerar todos subsanables en las rutas, es decir, continua recorridos que $$L[\gamma]=\sup_T \sum_{j=1}^N |\gamma(t_{j})-\gamma(t_{j-1})|<\infty, $$ where the $\sup$ is over all partitions $0=t_0<t_1<\dots<t_N=1$ of the interval $[0,1]$. If now $\gamma$ is a path with $\gamma(0)=a$ and $\gamma(1)=b$, then by the triangle inequality, for any $T$ tenemos $$|\gamma(1)-\gamma(0)|\le \sum_{j=1}^N |\gamma(t_{j})-\gamma(t_{j-1})|\le la L[\gamma]. $$ Así que si $|\gamma(1)-\gamma(0)|=L[\gamma]$, se debe tener para cualquier $t\in [0,1]$, $$|\gamma(1)-\gamma(t)+\gamma(t)-\gamma(0)|= |\gamma(1)-\gamma(t)|+|\gamma(t)-\gamma(0)|, $$ de modo que el triángulo de la desigualdad se cumple con la igualdad. Pero eso significa que $\gamma(t)-\gamma(0)$ $\gamma(1)-\gamma(t)$ debe ser vectores que apuntan en la misma dirección. Por lo $\gamma$ debe ser una línea recta.