Convergencia uniforme de la comprensión de la secuencia

Question

Dado $f_n(x)=(x-1)^{3n}$ $(0,2]$ podemos mostrar el punto de sabio convergencia a la función $$ f(x)=\begin{cases} 0&x\in(0,2)\\1&x\in\{2\}\end{casos} $$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que la convergencia uniforme no es cierto? He intentado lo siguiente:

Para $x\in(0,2)$ podemos mostrar el punto de sabios convergencia de $f_n(x)$ $f(x)=0$mediante la observación de que $$ |(x-1)^{3n}|\le|x-1|^{3N} $$ para todos los $n\ge N$. Deje $N=\lceil\frac{1}{3}\frac{\log\epsilon}{\log|x-1|}\rceil$. Para todos los $\epsilon>0$ tenemos que $$ |(x-1)^{3n}|\le|x-1|^{3N}=\epsilon $$ para todos los $n\ge N$. Desde $N(x,\epsilon)$ es una función de $x$, $N$ no es elegido de forma independiente de $x$ y por lo tanto convergencia uniforme no es cierto en $(0,2]$.

Answer 1

Una manera simple de probar que es el uso de este teorema que dice:

Si una secuencia de funciones continuas $f_n$ converge a una función de $f$ de manera uniforme, a continuación, $f$ es continua.

El uso de este teorema, es claro que desde $f_n$ es continua, y $f$ no es, la convergencia no puede ser uniforme.

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Sin embargo, en su caso, no se ha demostrado que las funciones no converge uniformemente. Sólo has demostrado que una particular forma de elección de $N$ no es independiente de $x$. Lo que usted necesita hacer es demostrar que cada forma de elección de $N$ debe depender de $x$.

Si desea mostrar que la convergencia no es uniforme directamente, no hay forma de evitar el primer paso que es la comprobación de la definición de continuidad uniforme. La definición dice:

Una secuencia de funciones de $f_n:(a, b]$ converge a $f$ uniformemente si, para cada $\epsilon>0$, existe alguna $N$ tal que, para todos los $x\in (a,b]$, la desigualdad de $|f_n(x)-f(x)| < \epsilon$ es cierto.

Usando esta definición, podemos escribir su negación a conseguir

Una secuencia de funciones de $f_n$ no convergen a $f$ uniforme si no sale algo de $\epsilon > 0$ tal que, para todos los $N\in\mathbb N$ , no hay salidas de algunos $x$ tal que $|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon$.

En su caso, le aconsejo que mire los números $x_k = 2-\frac1k$ y ver el $|f_n(x_k) - f(x_k)|$. No importa que tan grande $n$, se puede elegir una lo suficientemente grande como $k$ (y, por lo tanto, un adecuado $x_k$) para que el valor absoluto a ser bastante grande.

Answer 2

Convergencia uniforme de una secuencia $f_n(x)$ definida en algún intervalo $I$ a una función $f(x)$ es equivalente a

$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0\quad\quad (1)$$

De hecho, si $f_n\to f$ uniformemente en $I$, entonces para cada a $\varepsilon>0$ podemos encontrar $N$ tal que para cada a $n>N$ y cada $x\in I$, $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$. Ya que esto es válido para cada $x\in I$, para el supremum, por lo tanto, $\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ por cada $n>N$, por lo tanto $(1)$ mantiene. Es igualmente fácil ver que, si $(1)$ sostiene, a continuación, $f_n\to f$ uniformemente en $I$.

Esto implica en particular que si usted puede encontrar una secuencia $x_n\in I$ tal que $f_n(x_n)-f(x_n)$ no está cerca de cero, entonces la convergencia no puede ser uniforme. En nuestro caso, si usted toma el $x_n=2-\frac{1}{n}$, te vas a encontrar: $$f_n(x_n)-f(x_n)=(2-\frac{1}{n}-1)^{3n}\to \frac{1}{e^3}\quad\hbox{as $n\to\infty$}$$ En consecuencia, $(1)$ no se sostiene, por lo tanto $f_n$ no converge a $f$ uniformemente.

Answer 3

El hecho de que su $N$ no es elegido de forma independiente de $x$ no han demostrado que no hay mejor opción. Así que en realidad no demostrarlo en su intento.

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Supongamos que hay convergencia uniforme.

Entonces no debe ser un entero positivo $n_0$ tal que $n>n_0$ implica que el $|f_n(x)-f(x)|<0.3$.

Entonces, por consiguiente,$|f_n(x)|\leq0.3$$x\in(0,2)$.

Pero junto a eso tenemos $f_n(2)=1$, por lo que esto se contradice con la continuidad de $f_n$ (lo que requiere que el $\lim_{x\to 2^-}f_n(x)=f(2)$).

Esta contradicción nos permite concluir que no hay convergencia uniforme.

Answer 4

Simple. No hay un estándar teorema que un límite uniforme de funciones continuas es continua. Estas funciones son continuas, pero su límite es no. Por lo tanto, no es un límite uniforme.

La prueba de que el teorema es bastante corto, así que si usted necesita traducir a su función específica, que debe ser fácil. Es el llamado "epsilon-sobre-tres argumento", y es uno de los clásicos de las pruebas. Véase, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_limit_theorem

Answer 5

Su argumento suene bien a mí. De hecho la convergencia uniforme tornillos cuando $x=2$ o $x\to 0$. Ahora por contradicción asumir convergencia uniforme tiene. Entonces debemos tener $$\forall\epsilon>0\qquad\exists M\qquad \forall n>M,0<x means="" n="" that="">M\qquad\text{if }x = 2-\zeta\text{ for some }0\dfrac{\log{1-\zeta}\epsilon}{3}=\dfrac{\log{x-1}\epsilon}{3}=M$$therefore $M $ must depend on $x$ y esto es una contradicción.</x>