Me he encontrado con una prueba de la afirmación de que el "El Topologist de la curva sinusoidal está conectado pero no de ruta de acceso conectado" y no soy capaz de entender alguna parte.
Ejemplo 5.2.23 (Topologist de la Curva Sinusoidal-I). Vamos $$ A := \{ (x, \sin(\pi/x)) : 0 < x \leq 1 \} \quad\text{y}\quad B := \{ (0,y) : -1 \leq y \leq 1 \}. $$ Deje $X = A \cup B \subset \mathbb{R}^2$ dará la inducida por la métrica de la topología. Pretendemos que $X$ está conectado pero no de ruta de acceso conectado.
Deje $\gamma \colon [0,1] \to X$ ser un camino de unirse a $(0,0)$$(1,0)$. Escribimos $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$. Desde $B$ es cerrado en $X$, la inversa de la imagen $\gamma^{-1}(B)$ es cerrado, $0 \in \gamma^{-1}(B)$. Deje $t_0$ ser la menor cota superior de esta cerrado y acotado conjunto. Obviamente, $t_0 \in \gamma^{-1}(B)$. Tenga en cuenta que $0 < t_0 < 1$. Pretendemos que $\gamma_2$ no es continua en a $t_0$.
Para $\delta > 0$ $t_0 + \delta \leq 1$ debemos tener $\gamma_1(t_0 + \delta) > 0$. Por lo tanto, no existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $\gamma_1(t_0) < 2/(4n+1) < \gamma_1(t_0 + \delta)$. Por el teorema del valor intermedio aplicado a la función continua $\gamma_1$, podemos encontrar $t$ tal que $t_0 < t < t_0 + \delta$ que $\gamma_1(t) = 2/(4n+1)$. Por lo tanto $\gamma_2(t) = 1$$|\gamma_2(t) - \gamma_2(t_0)| \geq 1$. Por lo tanto, conlude que $\gamma_2$ no es continua en a $t_0$.
Mi duda aquí es si si :
$t_0$ Sup{$\gamma^{-1}(B)$},
B={$(0,y)|-1\leq y\leq 1$}
entonces
por qué $\gamma_2(t_0)<0$ como es la declaración de que $|\gamma_2(t)-\gamma_2(t_0)|\geq 1$ ?[Sé que el valor de $\gamma_2(t)=1$
Cualquier ayuda será apreciada.
