Cuántas soluciones a cada una de las ecuaciones $2^x+3^y=5^z$ , $2^x+5^y=3^z$ , $3^x+5^y=2^z?$

Question

Sea $x,y,z\in\Bbb{N}$ ¿Cuántas soluciones totales hay para cada una de las tres ecuaciones distintas siguientes? $$2^x+3^y=5^z \tag 1$$ $$2^x+5^y=3^z \tag 2$$ $$3^x+5^y=2^z \tag 3$$ He encontrado 3 soluciones a la ecuación (1), 4 soluciones a la ecuación (2), 5 soluciones a la ecuación (3),(12 en total) que podrían ser todas. $$3^0+5^0=2^1$$ $$5^0+2^1=3^1$$ $$5^0+3^1=2^2$$ $$3^0+2^2=5^1$$ $$2^1+3^1=5^1$$ $$3^1+5^1=2^3$$ $$5^0+2^3=3^2$$ $$2^2+5^1=3^2$$ $$3^2+2^4=5^2$$ $$2^1+5^2=3^3$$ $$5^1+3^3=2^5$$ $$3^1+5^3=2^7$$

Answer 1

He aquí una respuesta parcial para la ecuación $(1)$ . Si $y=0$ entonces obtenemos $5^z-2^x=1$ que por el teorema de Mihailescu sólo tiene solución $(x,z)=(2,1) \implies (x,y,z)=(2,0,1)$ reduciendo de otro modo $\mod{}3$ vemos que $x,z$ tienen la misma paridad. Ahora bien, si $x=0$ obtenemos $5^z-3^y=1$ que de nuevo por el teorema de Mihailescu no tiene soluciones y para $x=1$ obtenemos $5^z-3^y=2$ . Para $x>1$ podemos reducir $\mod{}4$ para demostrar que $y,z$ son ambos pares y por tanto $x,y,z$ están todos igualados. Entonces tenemos $2^{x}=(5^{z'}-3^{y'})(5^{z'}+3^{y'}) \implies 2^{x_1}=5^{z'}+3^{y'}, 2^{x_2}=5^{z'}-3^{y'}$ con $x_1>x_2$ evidentemente. Entonces tenemos $5^{z'}=2^{x_1-1}+2^{x_2-1} \implies x_2=1$ y así $5^{z'}-2^{x_1-1}=1$ lo que significa como antes que $(x_1-1,z')=(2,1) \implies (x_1,z')=(3,1)$ . Así pues, obtenemos $x=x_1+x_2=4, z=2z'=2$ que da la solución $(x,y,z)=(4,2,2)$ .

Ahora tenemos que comprobar $5^z-3^y=2$ . Tenemos $5(5^{z-1}-1)=3(3^{y-1}-1)$ . Supongamos que $z>7,y>6$ . Observe que $3*5=1\mod{}7$ y así $5^{z-1}=3^{y-1}\mod{}7 \implies 5^{z-y}=1\mod{}7 \implies z=y\mod{}6 \implies z=y\mod{}3$ .

Si $z=y=0\mod{}3$ entonces tenemos una ecuación de la forma $u^3+v^3=2$ que se sabe que da $(u,v)=(1,1) \implies (z,y)=(0,0)$ .

Si $z=y=1\mod{}3$ entonces observe que $6|z-1 \implies 3^6-1|3^{y-1}-1$ y $3^6-1=728=7*104 \implies 7|3^{y-1}-1 \implies 7|5^{z-1}-1 \iff 5^{z-1}=1\mod{}7$ . El orden de $5$ en ${\mathbb{Z}_7}^*$ es 6 sin embargo y por lo tanto $6|z-1 \implies 5^6-1|5^{z-1}-1 \implies 9*1736|5^{z-1}-1 \implies 9|5^{z-1}-1 \implies 3|3^{y-1}-1$ contradicción. Esto sólo nos deja comprobar los casos $y-1<6$ y $z-1<7$ así $y<6$ o $z<8$ que es fácil con una búsqueda por ordenador y sólo obtenemos $(x,y,z)=(1,1,1)$ .

Si $z=y=2\mod{}3$ entonces obtenemos $5^{3u}25-3^{3v}9=2$ . Configuración $t=2*5^{3u}25-2=2*3^{3v}9+2$ obtenemos $t^2=900(5^u3^v)^3+4 \iff (t/2)^2=(15)^2(5^u3^v)^3+1 \iff ((15)^2t/2)^2=((15)^2(5^u3^v))^3+(15)^4$ . Por tanto, una solución a nuestra ecuación implicaría un punto integral en la curva elíptica $y^2=x^3+(15)^4$ que puedes comprobar en LMFDB tiene puntos integrales: $(-36,63),(0,(15^2)),(100,41*25)$ y así $((15)^2(5^u3^v),(15)^2t/2)\in\{(-36,63),(0,(15^2)),(100,41*25)\}$ lo que da una contradicción.

Así, para la ecuación $(1)$ has encontrado todas las soluciones. Quizá puedas aplicar un argumento similar a tus otras ecuaciones.

Answer 2

Mahler demostró que esta ecuación sólo tiene soluciones finitas. $a^x+b^y=c^z$