$$ \begin{align} |z-4i|&=2|z+4|\\[4pt] |x+yi-4i|&=2|x+yi+4|\\[4pt] |x+i(y-4)|&=2|(x+4)+iy|\\[4pt] \sqrt{x^2+(y-4)^2}&=2\sqrt{(x+4)^2+y^2}\\[4pt] (\sqrt{x^2+(y-4)^2})^2&=(2\sqrt{(x+4)^2+y^2})^2\\[4pt] x^2+y^2-8y+16&= 4(x^2+8x+16+y^2)\\[4pt] x^2+y^2-8y+16&= 4x^2+32x+64+4y^2\\[4pt] 0&= 3x^2+3y^2+32x+8y+48 \end {align} $$
¿Está bien? Gracias
La solución parece bien, pero usted debe darse cuenta de que es una ecuación para el círculo con el centro $\left(-\dfrac{16}{3},-\dfrac{4}{3}\right)$ y con un radio de $\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$. Si yo fuera su grado, yo no daría un crédito completo para simplemente encontrar el final de la ecuación, sin embargo, no darse cuenta de ello genera un círculo. Aquí es una solución alternativa, el uso de la geometría Euclidiana del plano.
Deje $A$ denotar el punto de $4\text{i}$ de la compleja avión $\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2$, mientras que el $B$ es el punto de $-4$. Por lo tanto, si el punto de $C$ con complejo de coordinar $z$ satisface $$|z-4\text{i}|=2\,|z+4|\,,$$ entonces $$CA=2\,CB\,.$$ En la línea de $AB$, hay dos soluciones $D$$E$, con complejo de coordenadas $$\frac{1}{3}\,(4\text{i})+\frac{2}{3}\,(-4)=\frac{-8+4\text{i}}{3}\text{ and }(-1)\,(4\text{i})+2\,(-4)=-8-4\text{i}\,,$$ respectivamente. Por lo tanto, el punto de $C$ es un punto tal que $CD$ es el interior de la bisectriz angular de $\angle ACB$ $CE$ es el angular externo de la bisectriz de $\angle ACB$. Fácilmente se puede demostrar que el lugar geométrico de $C$ es un círculo $\Gamma$ con diámetro de $DE$.
Por lo tanto, el centro de $P$ $\Gamma$ tiene el complejo de coordenadas $$\frac{1}{2}\,\left(\frac{-8+4\text{i}}{3}\right)+\frac{1}{2}\,(-8-4\text{i})=\frac{-16-4\text{i}}{3}\,.$$ El radio de $\Gamma$ $$\frac{1}{2}\,\Biggl|\left(\frac{-8+4\text{i}}{3}\right)-(-8-4\text{i})\Biggr|=\frac{8\sqrt{2}}{3}\,.$$ En otras palabras, el complejo coordinar $z$ $C$ satisface $$\Biggl|z-\left(\frac{-16-4\text{i}}{3}\right)\Biggr|=\frac{8\sqrt{2}}{3}\,.$$ También podemos escribir $$z=\left(\frac{-16-4\text{i}}{3}\right)+\frac{8\sqrt{2}}{3}\,\exp(\text{i}\theta)\,,$$ donde $\theta\in\mathbb{R}$.
En general, cualquier solución de $z\in\mathbb{C}$ $|z-a|=r\,|z-b|$donde $r\in\mathbb{R}_{>0}\setminus\{1\}$ $a,b\in\mathbb{C}$ está dado por el círculo $$\left|z-c\right|=\rho\,.$$ Aquí, $c:=\dfrac{-a+r^2b}{r^2-1}$$\rho:=\dfrac{r}{|r^2-1|}\,|a-b|$. En otras palabras, $$z=c+\rho\,\exp(\text{i}\theta)\,,$$ donde $\theta\in\mathbb{R}$. (Tenga en cuenta que las soluciones en el caso de que $r=1$ forma un degenerado círculo---una línea recta. Esta línea recta es la mediatriz del segmento de unirse a $a$$b$. Está dada por la ecuación de $(a-b)\,\bar{z}+(\bar{a}-\bar{b})z=|a|^2-|b|^2$, o lo que es equivalente, $\text{Re}\big((\bar{a}-\bar{b})\,z\big)=\dfrac{|a|^2-|b|^2}{2}$. En otras palabras, $z=\dfrac{a+b}{2}+\text{i}(a-b)\,t$ donde $t\in\mathbb{R}$.)
Este es el conjunto de puntos que son dos veces tan lejos de $-4$ $4i$.
Voy a trabajar el caso de puntos arbitrarios y la relación de distancias.
Si los puntos están $(a, b)$ $(c, d)$ y la relación es $r$, entonces $|z-(a, b)| = r|z-(c, d)|$ o, si $z = (x, y)$, $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} =r\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2} $.
Ajustando y ampliando, $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2(x^2-2cx+c^2+y^2-2dy+d^2) $.
La agrupación, $x^2(r^2-1)+2(a-r^2 c)x+y^2(r^2-1)+2(b-r^2d)y +r^2 c^2+d^2)-a^2-b^2 =0 $.
Si $r=1$, esto se convierte en $2(a-c)x+2(b-d) +c^2+d^2-a^2-b^2 =0 $, que es el ecuación de una línea recta. Esto es debido a que el conjunto de puntos equidistante de dos puntos es la mediatriz de la línea que une los dos puntos.
Si $r \ne 1$, este es de la forma $Ax^2+Bx+Ay^2+Cy+D =0 $ que es la ecuación de de un círculo. Para ver esto, escribo esto como
$\begin{array}\\ 0 &=Ax^2+Bx+Ay^2+Cy+D\\ &=A\left(x^2+(B/A)x+y^2+(C/A)y+D/A\right)\\ &=A\left(x^2+(B/A)x+(B^2/4A^2)-(B^2/4A^2)+y^2+(C/A)y+(C^2/4A^2)-(C^2/4A^2)+D/A\right)\\ &=A\left((x+B/2A)^2+(y+C/2A)^2+D/A-(B^2/4A^2)-(C^2/4A^2)\right)\\ &=A\left((x+B/2A)^2+(y+C/2A)^2+(4AD-B^2-C^2)/(4A^2)\right)\\ \end{array} $
o $(x+B/2A)^2+(y+C/2)^2 =(B^2+C^2-4AD)/(4A^2) $.
Este es un círculo con centro en $-B/2A, -C/2A)$ y el radio $\sqrt{B^2+C^2-4AD}/(2A) $. Para el círculo para tener un real radio, debemos tener $B^2+C^2-4AD \ge 0$.
En nuestro caso,
$\begin{array}\\ B^2+C^2-4AD &=(2(a-r^2c))^2+(2(b-r^2d))^2-4(r^2-1)(r^2(c^2+d^2)-a^2-b^2)\\ &=4\left(a^2-2r^2ac+r^4c^2+b^2-2r^2bd+r^4d^2-(r^2-1)r^2(c^2+d^2)+(r^2-1)(a^2+b^2)\right)\\ &=4\left((a^2+b^2)(1+(r^2-1))+(c^2+d^2)(1-r^2(r^2-1))-2ac-2bd)\right)\\ &=4\left(r^2(a^2+b^2)+(c^2+d^2)(r^4-r^2(r^2-1))-2r^2(ac+bd)\right)\\ &=4\left(r^2(a^2+b^2)+r^2(c^2+d^2)-2r^2(ac+bd)\right)\\ &=4r^2\left((a^2+b^2)+(c^2+d^2)-2(ac+bd)\right)\\ &=4r^2\left((a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bd+d^2)\right)\\ &=4r^2\left((a-c)^2+(b-d)^2)\right)\\ &\ge 0\\ \end{array} $
El radio es cero si y sólo si $a=c$ $b=d$, lo que significa que los dos puntos son los mismos.
De lo contrario, la radio es $\dfrac{2r\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}}{2(r^2-1)} =\dfrac{r\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}}{r^2-1} $.
El centro está en $ (-\dfrac{a-r^2c}{r^2-1}, -\dfrac{b-r^2d}{r^2-1}) =(\dfrac{r^2c-a}{r^2-1}, \dfrac{r^2d-b}{r^2-1}) =\dfrac{1}{r^2-1}(r^2(c, d)-(a, b)) $.
Tenga en cuenta que si $r=0$ a continuación, el centro está en $(a, b)$ y la radio es cero, así que el círculo es un punto de en $(a, b)$.
Del mismo modo, si $r\to \infty$, a continuación, el centro va a $(c, d)$ y la radio va a la cero, así que el círculo es un punto.
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