¿Qué podemos decir sobre$a_n$ si converge$\sum a_n/n$?

Question

Supongamos que$\sum_{n=1}^{\infty} a_n/n$ converge, con$a_n \geq 0$ pero no necesariamente decreciente. ¿Qué podemos decir sobre$a_n$?

No podemos decir$a_n \to 0$. (Considere$a_n=1$ para n cuadrado, 0 en caso contrario). Pero podemos decir que para cualquier$\epsilon>0$, hay un número infinito de$a_n \leq \epsilon$. ¿Hay un nombre para esta propiedad? ¿Qué más podemos decir sobre$a_n$?

Answer 1

Podemos decir que$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k = \text{AM}(a_1,\ldots,a_n) \to 0. $ $ (Ni siquiera necesitamos la hipotesis$a_n\geq 0$). Esto se conoce como el lema de Kronecker y es una consecuencia de la suma por partes.

Answer 2

Tal vez el siguiente resultado es de algún interés.

Supongamos que $\sum_n a_n/n$ converge, $a_n\ge 0$. Entonces al menos uno de los siguientes sostiene:

1. $a_n\to 0$.
2. Hay infinidad de $n\ge 0$ que $a_{n+1}/(n+1)> a_n/n$.

Así que usted puede llegar a la conclusión $a_n\to 0$, pero cuando esto no se sostiene, se puede concluir que $a_n/n$ no es eventualmente disminuir. En particular, esto implica $a_n$ no es eventualmente disminuir, como $a_{n+1}>(n+1)/na_n\ge a_n$ infinitamente a menudo.

Para una prueba, a ver a mi otra respuesta donde ese $b_n$ disminución y $nb_n\not \to 0$ implica $\sum b_n$ diverge. El contenido de esta respuesta es el contrapositivo de la otra respuesta aplicada a $b_n=a_n/n$.