¿Alguna forma especial de integrar$\int_{0}^{\infty}t^2\exp(-t)\sin(t)$ rápidamente?

Question

¿Hay algún truco para integrarse rápidamente?

ps

o hay una manera en que uno puede ver que esta integral es igual a$$\int_{0}^{\infty}t^2\exp(-t)\sin(t)$?

Pregunto porque me estoy preparando para una prueba y parece que la integración por partes llevaría demasiado tiempo.

Answer 1

Como$\int_0^\infty t^2 e^{-zt}dt=\frac{2}{z^3}$ if$\Re z>0$, la integral deseada es$$\Im\int_0^\infty t^2\exp\Big[-(1-i)t\Big]dt=\Im\frac{2}{(1-i)^3}=\Im\frac{1}{\sqrt{2}}e^{3\pi i/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{1}{2}.$ $

Answer 2

Hay otros métodos para ser "rápidos" en ciertos cálculos. En este caso, uno puede comenzar con$$\int_{0}^{\infty} e^{-st} \, \sin(at) \, dt = \frac{a}{s^2 + a^2}.$ $ Dado que$$D_{a}^{2} \, \sin(a t) = - t^{2} \, \sin(at)$ $ y$$ D_{s}^{2} \, e^{-s t} = t^{2} \, e^{-st}$ $, entonces:

\begin{align} \int_{0}^{\infty} t^{2} \, e^{-t} \, \sin(at) \, dt &= - D_{a}^{2} \, \int_{0}^{\infty} e^{- t} \, \sin(a t) \, dt \\ &= - D_{a}^{2} \left( \frac{a}{a^2 + 1}\right) \\ &= \frac{2 a \, (3 - a^2)}{(a^2 + 1)^{3}} \end {align} o \begin{align} \int_{0}^{\infty} t^{2} \, e^{-s t} \, \sin(t) \, dt &= D_{s}^{2} \, \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \, \sin(t) \, dt \\ &= D_{s}^{2} \left(\frac{1}{s^2 + 1}\right) \\ &= \frac{2 (3 s^2 - 1)}{(s^2 + 1)^{3}}. \end {align}

En estos casos, si$a=1$ o$s=1$ los valores resultantes conducen a$$ \int_{0}^{\infty} t^{2} \, e^{-t} \, \sin(t) \, dt = \frac{1}{2}. $ $