Se me pide que determine si el número$11111$ es primo. Al usar las pruebas de divisibilidad para los números del 1 al 11, no pude encontrar nada que lo divida, por lo que supuse que era primo. Sin embargo, aparentemente no es primo. Entonces, ¿cuál es el procedimiento para determinar si$11111$ es primo?
Gracias por cualquier ayuda.
Lo mejor que puedo hacer:
Permita que$p$ sea un divisor principal$11111$. Entonces afirmo que$p\equiv 1 \pmod 5$
Pf: De hecho,$11111=\frac 19\times (10^5-1)$ so$p\,|\,11111\implies p\,|\,10^5-1$ que implica que$10$ tiene orden$5\pmod p$. Por lo tanto,$5\,|\,p-1$ y hemos terminado.
Por lo tanto, solo debe verificar$11,31,41\cdots$ y detenerse ya que$41$ ya funciona.
Aquí hay una lista para probar el factor principal de menos de$50$.
Prueba de divisibilidad por$41$. Reste cuatro veces el último dígito del número truncado principal restante. Si el resultado es divisible por$41$, también lo fue el primer número. Aplique esta regla una y otra vez según sea necesario.
$$1111-4(1)=1107$ $$$110-4(7)=110-28=82$ $$$8-4(2)=0$ $
El número es divisible por$41$.
No limpie un método, pero aunque he utilizado de la factorización de Fermat para encontrar que,
$(105)^2<11111<(106)^2$
Aplicando ahora el hecho de que un cuadrado perfecto debe terminar sólo en $0,1,4,5,6,9$, concentrarse únicamente en los números, la diferencia de cuya plaza y $11111$ dar estos dígitos en el último lugar. Por ejemplo, omitir $113,123,133,143$ debido a que las plazas de estos números final con $9$ y resultaría en $8$ según el último dígito y por lo tanto esta diferencia no va a ser un cuadrado perfecto.
Del mismo modo omitir los números como $112, 122, 132, 142, 152$ (se Puede ver la razón por qué?)
En la omisión de más de dichos números y un poco de juicio, nos encontramos con que $(156)^2 - 11111 = 13225=(115)^2$
Por lo tanto, $11111 = (156-115)(156+115) = 41.271$
Si un entero es todo lo $1$s, entonces es de la forma $$\frac{10^n - 1}{9},$$ which we notate $R_n$ either for convenience or to be dull, take your pick. For your number, then, we have $n = 5$. Since $5$ is prime, $11111$ podría ser el primer.
Observe que $R_n$ es divisible por $11$ si $n$ es incluso. Observe también que $R_n$ es divisible por $3$ si $n$ es un múltiplo de a $3$. Y $R_n$ es divisible por $41$ $n$ es un múltiplo de a $5$.
Cómo puedo llegar a esos? Yo sólo sé, soy un demonio, y si no sé, yo pido una madera de la ninfa. Pero si yo sólo era un simple mortal como tú, me gustaría ver en Sloane del OEIS y aviso de la observación "Estos índices de $p$ también debe ser primo". Lo que significa que si $R_n$ es primo, entonces es $n$.
Espera, hay otra manera en que un simple mortal como usted podría haber pensado en esto: un ensayo simple división. Desde $\sqrt{11111} \approx 105.4$, sólo necesita trate de dividir a $11111$ por cada primer de$3$$103$.
Si usted ha mantenido va en orden ascendente, se habría golpeado a $41$. Betsy DeVos está haciendo un gran trabajo. Mwahahahahahahahahahaha!
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