Curiosa Oda a peine de Dirac

Question

Me quedé atrapado en mis cálculos tratando de resolver el siguiente problema:

Dado que el ODE $$\dot{x} = -\alpha x + a\sum_{n=0}^\infty\delta(t-n\tau)$$ where $\alpha \gt 0$, define $$x_k = x(k\tau +0 )$$ and find $x_k$ as a function of $x_{k-1}$. ¿Cuál es el valor del siguiente límite de $$\lim_{k\rightarrow \infty}x_k?$$

Mi intento

Primero vamos a definir la siguiente función

$$f(t) = a\sum_{n=0}^\infty\delta(t-n\tau)$$ then the ODE becomes pretty much standard $$\dot{x}(t) = -\alpha x(t) + f(t)$$

para que la solución general es

$$x(t) = e^{-\alpha t} x(0)+\int_0^t e^{-\alpha(t-t')}f(t')\,dt'\\ x(t) = e^{-\alpha t} x(0)+\int_0^t e^{-\alpha(t-t')}a\sum_{n=0}^\infty\delta(t'-n\tau)\,dt'.$$

Ahora hemos de intercambio de la suma con la integral (físico me descaradamente cambio sin comprobación de la convergencia uniforme!) y obtener

$$x(t)= e^{-\alpha t} x(0)+\sum_{n=0}^\infty a\int_0^t e^{-\alpha(t-t')}\delta(t'-n\tau)\,dt'$$

Por la definición de $x_k$

$$\begin{align}x_k = x(k\tau+0) &= e^{-\alpha k\tau} x(0)+\sum_{n=0}^\infty a\int_0^{k\tau} e^{-\alpha(k\tau-t')}\delta(t'-n\tau)\,dt'\\&=\underbrace{e^{-\alpha k\tau}x(0)}_{\text{first term}}+\underbrace{\sum_{n=0}^kae^{-\alpha(k\tau-n\tau)}}_{\text{second term}}\end{align}$$

Podemos calcular fácilmente la $x_{k-1}$ desde el valor de $x_k$

$$ x_{k-1} = \underbrace{e^{-\alpha(k-1)\tau}x(0)}_{\text{first term}}+\underbrace{a\sum_{n=0}^{k-1}e^{-\alpha(k\tau-n\tau)}}_{\text{second term}}.$$

Está claro que queremos hacer una relación entre el$x_k$$x_{k-1}$, los primeros términos de ambas puede ser escrito como $$e^{-\alpha k\tau}x(0) = e^{-\alpha\tau}e^{-\alpha(k-1)\tau}x(0)$$ so I'm bound to say that, at list for the first terms $$x_k = e^{-\alpha\tau}x_{k-1}\tag2$$ The real problem arises when we try to make adjustments to $(2)$ to make the second terms equal, mainly from definition $(2)$ tenemos

$$x_k = e^{-\alpha\tau}e^{-\alpha(k-1)\tau}x(0) + \color{red}{e^{-\alpha\tau}a\sum_{n=0}^{k-1}e^{-\alpha(k-n)\tau}}$$

Mis preguntas ahora son

Pregunta 1: ¿Cómo puedo ajustar el segundo plazo para $x_k$ como una función de la $x_{k-1}$?

Pregunta 2: ¿hay una manera más fácil de resolver este problema?

Answer 1

Así que empecemos desde $$xk(\tau) = x(k\tau)= e^{-\alpha k\tau}x(0)+a\sum{n=0}^ke^{-\alpha\tau(k-n)}.$ $ y $$x{k-1}(\tau)=e^{-\alpha (k-1)\tau}x(0)+a\sum{n=0}^{k-1}e^{-\alpha\tau((k-1)-n)}.$ $ en la comparación de los dos, queremos obtener $xk$ a ver como $x{k-1}.$ por lo que escribimos\begin{align}xk(\tau) &= e^{-\alpha\tau}e^{-\alpha (k-1)\tau}x(0)+a\sum{n=0}^{k-1}e^{-\alpha\tau(k-n)}+a \ &=e^{-\alpha\tau}e^{-\alpha (k-1)\tau}x(0)+ae^{-\alpha\tau}\sum{n=0}^{k-1}e^{-\alpha\tau((k-1)-n)}+a \ &=e^{-\alpha\tau}x{k-1}(\tau)+a.\end{align}

Para calcular el límite, figura es exactamente lo que $x_{0}(\tau)$ (similar a $x0(\tau)=x(0)+a$), luego escriba $x{k}(\tau)$ en. Eso es algo que podría tener el de.