Prueba $|x - y|\le|x| + |y|$ (Spivak ' libro de calculo de s)

Question

Yo estaba haciendo este problema me he pegado mucho tiempo y luego termino esto.

$$|x - y|\le|x| + |y| .$$

Entonces, cuadrado ambos lados

$$|(x - y)(x - y)|\le(|x| + |y|)².$$

Ya que siempre es positivo, $(x - y)²$ $x²$ y $y²$, obtenemos

$$(x - y)²\le x² + 2|xy| + y².$$

Desarrollar el producto

$$x² -2xy + y² \le x² + 2|xy| + y²$$

$$-2xy\le2|xy|$$

$$-xy\le|xy|$$

Y esto es cierto.

Me gustaría saber si lo hice correctamente y si hay una prueba más fácil/más pequeño porque el problema es haciendo una prueba muy corta.

Answer 1

La prueba es principalmente correcto, pero se debe mencionar que, para$a\ge0$$b\ge0$,

$a\le b$ si y sólo si $a^2\le b^2$

y que se puede aplicar esto porque $|x-y|\ge0$$|x|+|y|\ge0$. También se debe decir que las desigualdades que usted escribe son equivalentes entre sí.

En los pasos siguientes, cada línea es equivalente a uno por debajo de él; también utilizamos $|a|^2=a^2$ y que la adición de igualdad de condiciones a ambos lados de una desigualdad no cambia. \begin{align} & |x-y|\le|x|+|y| \\[4px] & |x-y|^2\le(|x|+|y|)^2 \\[4px] & x^2-2xy+y^2\le x^2+2|x|\,|y|+y^2 \\[4px] & {-}2xy\le |2xy| \end{align} Desde la última desigualdad es cierta (porque $-a\le|a|$ por cada $a$), se finaliza la prueba.

Answer 2

Su enfoque es correcto; Asegúrese de que cada paso que ha dado también se puede tomar en sentido inverso. Hasta ahora usted tiene una prueba $$\textbf{If}\quad|x-y|\leq|x|+|y|\quad\textbf{then}\quad-xy\leq|xy|,$ $ pero por supuesto lo quieren probar la implicación contraria.

Una prueba más corta sería utilizar la desigualdad de triángulo; $$|x-y|=|x+(-y)|\leq |x|+|-y|=|x|+|y|.$$

Answer 3

Su solución es correcta y creo que su enfoque es más simple y más corta en el sentido de que no necesita apelar a (y probar) cualquier lema.

En el enfoque de @Servaes, apela a esta desigualdad $|x+y|\le |x|+|y|$, que sin duda necesita una prueba demasiado.

Bonificación: $||x|-|y|| \le |x+y|\le |x|+|y|$.

Answer 4

Partir lo que desea probar y luego cuadrado ambos lados, encontrar algo verdadero y concluir.

Usando este método puedo probar %#% $ #% hecho, cuadrado ambos lados, encontrará $$3\leq -6$ que es cierto.

Lo que usted necesita para agregar es que $9\leq 36$ es de hecho equivalente a $a\leq b$ cuando $a^2\leq b^2$.

Eso es porque

• Si $a,b\geq 0$ y $b\geq 0$ $
• Si $$a^2\leq b^2\implies \sqrt{a^2}\leq \sqrt{b^2}=b\implies |a|\leq b\implies a\leq b$ y $a\geq 0$.

Answer 5

Así es para mí. También puede utilizar la desigualdad de triángulo clásico $$|x-y|=|x+(-y)|\le|x|+|-y|=|x|+|y|$ $