Juego de cartas y probabilidades

Question

A partir de un estándar de 52 cartas de la baraja de nosotros al azar sacar 2 cartas. Uno es negro y el otro es un 4. Elegimos una de las dos tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de:

1. La tarjeta que elija, es un 4

2. La tarjeta que elija, es negro

3. La tarjeta que elija una tarjeta de la cara

1: yo creo que debe ser de 1/2 (desde 1 de las 2 tarjetas de 4), además de la probabilidad de que la otra tarjeta también para ser un 4. Desde la otra tarjeta es de color negro, sabemos que hay 2 patas en 26 tarjetas negras para 2/26? Así que, finalmente,$1/2+2/26$? No estoy seguro.

2. Del mismo modo, 1/2 + la probabilidad de que el "4" de la tarjeta de negro - no puede ser$1/2+2/4$, aunque.

3. El negro de la tarjeta puede ser una tarjeta de la cara con una probabilidad de $6/26$.

Me puede ayudar?

Answer 1

En esta respuesta me preassume que "uno es negro" significa "al menos uno es negro".

1)

Esta pregunta puede reformularse como: "si tomamos al azar, uno por uno dos cartas sin sustitución, a continuación, - si una de las tarjetas llevado a cabo parece ser de color negro y el otro un $4$ - ¿cuál es la probabilidad de que la primera mano es una $4$.

Deje $E$ denotar el caso de que la primera carta robada es una $4$.

Deje $A$ denotar el caso de que dos $4$'s son dibujados de color diferente.

Deje $B$ denotar el caso de que dos negros $4$'s son dibujados.

Deje $C$ denotar el caso de que una tarjeta negra que no es un $4$ es dibujado y un $4$.

Entonces:$$P\left(E\mid A\cup B\cup C\right)=\frac{P\left(E\cap A\right)+P\left(E\cap B\right)+P\left(E\cap C\right)}{P(A)+P\left(B\right)+P\left(C\right)}=$$$$=\frac{4\cdot2+2\cdot1+4\cdot25}{4\cdot2+2\cdot1+2\cdot4\cdot25}=\frac{11}{21}$$

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Editar:

El comentario de Oldboy (gracias) en esto me estimula a tener una segunda mirada y me encontré con un error en mi respuesta (mis disculpas por eso) El $25$ debe ser (por supuesto) $24$ (el número de la tarjeta de negro, que no son una $4$). Esto conduce al resultado:$$\frac{4\cdot2+2\cdot1+4\cdot24}{4\cdot2+2\cdot1+2\cdot4\cdot24}=\frac{106}{202}=\frac{53}{101}\approx0.524752475$$

Esto concuerda con el resultado de Oldboy.

Para hacer las cosas un poco más claras:

$$P\left(\text{one black and other }4\right)=$$$$P\left(2\text{ black }4\text {s'}\right)+P\left(\text{black }4\text{ rojo }4\right)+P\left(\text{un }4\text{ y uno negro que no es un }4\right)=$$$$\frac{2}{52}\frac{1}{51}+2\frac{2}{52}\frac{2}{51}+2\frac{4}{52}\frac{24}{51}$$

es el denominador, y:$$P\left(\text{one black and other }4\text{ and first one is a }4\right)=$$$$P\left(2\text{ black }4\text {s'}\right)+P\left(\text{black }4\text{ rojo }4\right)+P\left(\text{primero }4\text{ y, a continuación, un negro que no es un }4\right)=$$$$\frac{2}{52}\frac{1}{51}+2\frac{2}{52}\frac{2}{51}+\frac{4}{52}\frac{24}{51}$$ es el numinator.

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Edit2 (me decidí a proporcionar las otras respuestas)

2)

Aquí el denominador es el mismo que en 1) y el numerador es:$$P\left(\text{one black and other }4\text{ and first one is black}\right)=$$$$P\left(\text{primero un black }4\text {, a continuación, una tarjeta negra o roja }4\right)+P\left(\text{primer negro que no es un }4\text{ y, a continuación, un }4\right)=$$$$\frac{2}{52}\frac{27}{51}+\frac{24}{52}\frac{4}{51}$$leading to probability $$\frac{150}{202}=\frac{75}{101}$$

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3)

Yo preassume que $J,Q,K$ son tarjetas de la cara y el ace no.

Aquí el denominador es el mismo que en 1) y el numerador es:$$P\left(\text{one black and other }4\text{ and first one is face}\right)=P\left(\text{first is a black face and second is a }4\right)=\frac{6}{52}\frac{4}{51}$$leading to probability:$$\frac{24}{202}=\frac{12}{101}$$

Answer 2

1) La tarjeta que elija, es 4:

¿Cuántas permutaciones (pares ordenados) que cumplen los criterios (uno es 4, y la otra es de color negro) tenemos que hacer? Podemos divde en dos grupos distintos:

Primer grupo: una tarjeta es una tarjeta negra que no es 4, y la otra tarjeta es de 4. Hay 24 tarjetas negras que no son 4 y cada uno puede ser combinado con cuatro diferentes 4s. Hay $24\times4=96$ pares ordenados comenzando con una tarjeta negra que no es de 4 y 96 pares ordenados comenzando con 4.

Segundo grupo: una tarjeta, es un negro de 4 y la otra tarjeta es cualquier otro 4. Básicamente, todos los pares ordenados de 4s son válidos (y tenemos $4\times3=12$ de ellos), excepto 2 pares ordenados de rojo 4s. El número total de odrered pares de satisfacer los criterios para el segundo grupo es $12-2=10$

Así que en total tenemos $2\times96+10=202$ pares ordenados. Hay 96 pares ordenados desde el primer grupo de comenzar con 4 y 10 pares ordenados comenzando con 4. Todos los pares ordenados son igualmente posible para que la probabilidad de que la primera tarjeta es de 4 es:

$$\frac{96+10}{2\times96+10}=\frac{106}{202}=\frac{53}{101}\approx0.524752$$

I did a Monte Carlo simulation with 20.000.000+ draws satisfying the conditions of the problem and got 0.524895 which is within 0.03% from the calculated value. The value $\frac{11}{21}\approx0.523810$ obtained by @drhab is obviously not a better match.

2) The card we pick is black:

Again, we have two groups of ordered pairs and we already calculated that the total number is 202.

First group: one card is a black card that is not 4 (24 possibilities), the other card is 4 (4 possibilities, 2 of them black). How many ordered pairs start with a black card? There are $24\times4=96$ ordered pairs starting with a black card that is not 4, plus $2\times24=48$ ordered pairs starting with a black 4. In total, we have $96+48=144$ ordered pairs starting with a black card.

Second group: one card is a black 4, the other card is any other 4. How many ordered pairs start with a black card? There are two black fours and the second card can be any of the remaining three. So in total there are $2\times3=6$ ordered pairs starting with a black card.

Taking both groups into the account there are $144+6=150$ ordered pairs starting with a black card, so the probability is:

$$\frac{150}{202}=\frac{75}{101}\approx0.742574$$

I did a Monte Carlo simulation with 25.000.000+ draws satisfying the conditions of the problem and got 0.74254516.

3) The card we pick is a face card:

This is the easiest case.

First group: one card is a black card that is not 4 (24 possibilities), the other card is 4 (4 possibilities, 2 of them black). There are 6 black face cards (J,Q,K) so in total we have $6\times4=24$ ordered pairs starting with a face card.

Second group: one card is a black 4, the other card is any other 4. You cannot pick a face card from any ordered pair belonging to this group.

Taking both groups into account, you have only $24$ ordered pairs starting with a face card so the probability is:

$$\frac{24}{202}=\frac{12}{101}\approx0.118881$$

Hice una simulación de Monte Carlo con 10.000.000+ dibuja la satisfacción de las condiciones del problema y tengo 0.11883492.

Si usted está interesado en Monte Carlo, aquí está el código Java que he usado:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
import java.util.Random;

class Card {
    public int suite; // 0,1 => black, 2,3 => red
    public int value; // from 2 to 14

    public Card(int suite, int value) {
        super();
        this.suite = suite;
        this.value = value;
    }

    public boolean isFour() {
        return value == 4;
    }

    public boolean isBlack() {
        return suite < 2;
    }

    public boolean isFaceCard() {
        return value >= 12 && value <= 14;
    }
}

class Deck {
    private List<Card> cards = new ArrayList<>();
    private Card c1, c2;

    public Deck() {
        for(int value = 2; value <= 14; value++) {
            for(int suite = 0; suite <= 3; suite++) {
                cards.add(new Card(suite, value));
            }
        } 
    }

    public void drawOneBlackAndOneFour() {
        Random rnd = new Random();
        Collections.shuffle(cards, rnd);
        while(true) {
            int i = rnd.nextInt(52);
            c1 = cards.get(i); 
            while(true) {
                int j = rnd.nextInt(52);
                if(i != j) {
                    c2 = cards.get(j);
                    break;
                }
            }
            if(c1.isBlack() && c2.isFour()) {
                break;
            }
            if(c2.isBlack() && c1.isFour()) {
                break;
            }
        }
    }

    public boolean isFirstCardFour() {
        return c1.isFour();
    }

    public boolean isFirstCardBlack() {
        return c1.isBlack();
    }

    public boolean isFirstCardFaceCard() {
        return c1.isFaceCard(); 
    }
}

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Deck deck = new Deck();
        int ok = 0, total = 0;
        while(true) {
            total++;
            deck.drawOneBlackAndOneFour();
            if(deck.isFirstCardBlack()) {
                ok++;
            }
            System.out.println(String.format("%d/%d = %.8f", ok, total, (double)ok/(double)total)); 
        }
    }
}