Soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Cauchy-Euler

Question

Se $y_1=x^3$ y $y_2=x^2|x|$ ($x\in \mathbb R$) soluciones linealmente independientes de la de Cauchy-Euler homogénea de la ecuación diferencial: $x^2y''-4xy'+6y=0$$\mathbb R$?

Claramente, $y_1$ $y_2$ son linealmente independientes de las funciones de $\mathbb R$ y en tapar, tanto para satisfacer el dado por la ecuación diferencial. Por lo tanto, parece que son soluciones de interceptación de la educación a distancia, pero la solución de esta ecuación nos da $x^2$ $x^3$ como las dos soluciones independientes y dos de ellos están definidas para todos los $x\in \mathbb R$ (lo que de nuevo se contradice con el hecho de que el Cauchy-Euler, ecuación se define por $x>0$). Ahora, mi confusión es:

$1$. Puede un segundo orden de la educación a distancia tiene tres LI soluciones viz. $x^2$, $x^3$ y $x^2|x|$$\mathbb R$?

$2$. A pesar de que los coeficientes de $y'$ $y$ viz. $-4/x$ $6/x^2$ no están definidas en $x=0$, pero sus soluciones son definidos allí. Entonces, ¿sería correcto hablar sobre el comportamiento de las soluciones en el dominio $x\in \mathbb R$?

Gracias!

Answer 1

1. Sí, como se demostró a sí mismo. Tenga en cuenta que la habitual declaración del teorema que la ecuación lineal de la $k$-ésimo orden ha $k$ soluciones linealmente independientes se supone que la ecuación puede ser escrita como $y^{(k)}+a_{k-1}(x)y^{(k-1)}+\ldots$.

2. En tu problema no tiene los coeficientes de la forma $-4/x$. Así que no hay problema con $x=0$. Es una historia diferente, que tiene un coeficiente en el más alto de derivados que se puede convertir en cero. En este caso la singularidad teorema no se aplica, pero todavía se puede decir que algunas de las soluciones definidas en todos los $\mathbb R$ satisfacer la ecuación.

Answer 2

Un par de cosas a tener en cuenta:

• cada posible solución pasa por el origen.

• si $x>0$, $x^3$ $x^2|x|$ son la misma cosa. (Se $x^2|x|$ lo que se dijo en la solución? Esa es una extraña manera de escribir.)

• Aquí es donde el dominio de las cosas es importante: supone que se tienen las condiciones iniciales positivos $x$ valores. Decir $y(1)=1$$y'(1)=2$. Esto le dará una solución única para los valores positivos de $x$. Pero para valores negativos de $x$ todavía hay un número infinito de posibles soluciones, cada uno de ellos igualmente válidos.

Si usted quería definir una solución para todos los números reales utilizando las condiciones iniciales de arriba, usted podría conseguir a cualquier función definida a tramos de la forma: $y=x^2$ si $x>0$, $y=c_1 x^2+c_2 x^3$ si $x\leq 0$