¿Cuántos números de $1$ $99999$ tiene una dígito-suma de $8$?
¿Por qué es el % de respuesta ${8+4\choose 4}$?
¿Funciona el siguiente método?
Respuesta es el número de maneras de dividir 8 en 5 dígitos,
es decir, varias formas de insertar 4 líneas entre una fila de 8 objetos.
Sí, el razonamiento por debajo de la línea de tu pregunta es correcta, aunque puede ser ampliado para mayor claridad. Coloque una fila de $8$ estrellas, dicen:
$$********$$
Ahora inserte $4$ divisores para separarlas en $5$ grupos, por ejemplo,
$$*||***||****$$
De izquierda a derecha leer en el número de estrellas en cada una de las $5$ grupos: $$10304$$
El resultado es claramente un número entre el $1$ $99999$ cuyos dígitos suma a $8$. Y el procedimiento es claramente reversibles, por lo que el número de formas de inserción de la $4$ divisores realmente es el número de enteros en los que estamos interesados. Por ejemplo, comenzando con $352=00352$, obtenemos
$$||***|****|**$$
La cadena de las estrellas y de los divisores es una cadena de $8+4=12$ objetos, y el $4$ divisores puede ir a cualquier lugar en esta cadena, por lo que hay $\binom{12}4$ formas para colocar en ellas y, por tanto, $\binom{12}4$ números de la especie.
Deje $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \geq 0$ ser el 5 dígitos del número. A continuación, el número de números de 1 a 99999 que tienen una suma de dígitos de 8 son el entero de las soluciones a la ecuación de $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 8$. Este problema es combinatoria idéntico al número de distribuciones de $8$ indistinguibles de los objetos a $5$ distinguibles de las personas, por lo tanto, ${8 + 4 \choose 4}$. Para más información sobre por qué es eso, ver a mi respuesta aquí:
La combinatoria de Distribución de Número de número entero de soluciones de Concepto Explicación
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