¿Existe una función que satisfaga la siguiente condición?

Question

Tengo una pregunta sobre la teoría de la medida.

Dejemos que $(X,\mathcal{F},\mu)$ sea un espacio de medidas. Sea $f$ ser un $\mu$ -función no negativa integrable en $X$ . Estoy buscando una función $\varphi$ satisfaciendo lo siguiente:

• $\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , no decreciente,
• $\lim_{x \to \infty} \varphi(x)/x=\infty$ ,
• $\int_{X} \varphi \circ f\,d\mu<\infty$ .

Mi intento \begin {align*} \int_ {X} \varphi \circ f\N-, d \mu &= \int_ {0}^{ \infty } \varphi (x)\, \nu (dx)= \int_ {0}^{ \infty } \nu (\{ \varphi >t\})\Nde la que se trata, dt, \end {align*} donde $\nu(A)=\mu(f^{-1}(A))$ , $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ . De la desigualdad de Markov, \begin {align*} \nu (\{ \varphi >t\}) \le \frac {1}{t} \int_ {0}^{ \infty } \varphi \,d \nu. \end {align*} Sin embargo, $\int_{1}^{\infty} 1/t\,dt=\infty$ . ¿Existe un límite superior de $\nu(\{\varphi>t\})$ bajo una condición adecuada en $\varphi$ ? ¿Qué? $\varphi$ debe satisfacer?

Si lo sabes, por favor, házmelo saber.

Answer 1

Se puede demostrar la convergencia de la integral para una $\varphi$ . El objetivo es construir unos $\varphi$ que la integral converge.

Tenemos que $f$ es un $μ$ -función no negativa integrable en $X$ Así que $\displaystyle\int_X f\,d\mu<\infty$ . Esto implica que $$h(t)=\displaystyle\int_X f\cdot 1_{\{f\geq t\}}\,d\mu \downarrow 0 \text{ as } t\to\infty.$$

Tenga en cuenta que $h(0)=\displaystyle\int_X f\,d\mu <\infty$ .

Definir para $m\in\mathbb Z$ los conjuntos $$A_m=\left\{t: \frac{1}{4^{m+1}}<h(t)\leq \frac{1}{4^{m}} \right\}.$$ Desde $h$ es no decreciente, todo no vacío $A_m$ es un intervalo. Podemos suponer también $h$ es derecho-continuo para evitar las situaciones en las que $A_m$ es un conjunto con un punto.

Dejemos que $A_m=[z_m, z_{m+1})$ si este conjunto no es vacío. Obsérvese también que $h(0)<\infty$ implica que existe algún $m_0$ tal que $0\in A_{m_0}$ .

Para $t\in A_m$ set $\varphi(t)=2^mt$ . Esta función es tal que $\varphi(t)/t\to\infty$ como $t\to\infty$ .

Entonces $$ \int_X \varphi(f)\,d\mu = \sum_{m\geq m_0} \int_X \varphi(f)\cdot 1_{\{f\in A_m\}}\,d\mu = \sum_{m\geq m_0} \int_X 2^mf\cdot 1_{\{f\in A_m\}}\,d\mu = $$ $$ =\sum_{m\geq m_0} 2^m\int_X f\cdot 1_{\{f\in A_m\}}\,d\mu\leq \sum_{m\geq m_0} 2^m\int_X f\cdot 1_{\{f \geq z_m\}}\,d\mu = $$ $$=\sum_{m\geq m_0} 2^m \cdot h(z_m)=\sum_{m\geq m_0} 2^{-m} < \infty. $$

La demostración anterior está copiada con algunos cambios mínimos de la demostración del mismo resultado para las expectativas de las variables aleatorias dadas aquí: páginas 8-9, segunda parte del lema 1.