Declaración relacionada con el lema de Zorn

Question

Considere la siguiente declaración:

Si$X$ está parcialmente ordenado, establezca que cada cadena en$X$ tenga un límite superior, luego, para cada$x \in X$, hay un elemento máximo$m$ en$X$ ese $x \le m$.

¿Cuál es la relación, si la hay, con el lema de Zorn? ¿Es más débil, más fuerte o tal vez solo una tontería?

Answer 1

Es equivalente a la instrucción el lema de Zorn.

Implica el lema de Zorn con bastante facilidad, porque tienen los mismos requisitos de la orden parcial, y si hay un elemento maximal encima de cada punto, entonces sin duda hay un elemento maximal.

Por otro lado, suponiendo que el lema de Zorn, y dado un orden parcial $(P,\leq)$ la satisfacción de estos requisitos, considere la posibilidad de $x$ en el orden parcial en el conjunto de $P_x=\{m\in P\mid x\leq m\}$, entonces la restricción de $\leq$ $P_x$satisface el lema de Zorn de nuevo, y por lo tanto tiene un elemento maximal, $m$ que es máxima en $P$, y por lo $x\leq m$.