¿El$\int_{-x}^{x}f(t)dt=0$ implica que$f$ es una función impar?

Question

Sé que para$\quad f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\quad$ continuous,$$\int_{-x}^{x}f(t)dt=0 \quad \text{for all } x \in \mathbb{R} \implies f(-x)=-f(x) \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}.$ $ Pero, ¿es verdadero lo anterior para la función general en$\mathbb{R}$? Más precisamente es la siguiente verdad:
Pregunta: Para cualquier función integrable de Riemann$\quad f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,$$\int_{-x}^{x}f(t)dt=0 \quad \forall \quad x\in \mathbb{R} \implies f(-x)=-f(x) \quad \forall \quad x\in \mathbb{R}.$ $ Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Puede tomar una función extraña integrable y cambiar su valor en un punto$x > 0$ para que ya no sea impar pero aún así satisfaga todas las condiciones integrales.

Answer 2

Esto no es verdad en general. Considere la función $$ f (x) = \ left \ {\begin{array}{lll} 1&:&x=1\\0&:&\text{otherwise}\end {array} \ right. $$ Then$\int_a^b f(x)\ dx=0$ para todos$a\leq b$, pero$f$ no es impar .

Answer 3

Permita que$ f $ sea continuo.

Como$$\int_{-x}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{-x}f(t)dt=0,$ $ así,

ps

a saber,$$\dfrac{{\rm d}\int_{0}^{x}f(t)dt}{{\rm d} x}-\dfrac{{\rm d}\int_{0}^{-x}f(t)dt}{{\rm d} x}=0,$ $ que se desea.

Pero, si cancelamos la continuidad, la declaración ya no se cumple, ya que siempre podemos redefinir$$f(x)+f(-x)=0,$ en un punto aislado$f(-x_0)$, de manera que$-x_0$, aunque la integral mantenga el mismo valor.