¿Qué es un $p$ -grupo radical

Question

Vi el nombre $p$ -grupo radical sobre un libro que estaba leyendo, así que traté de encontrar algunos documentos relacionados. Aunque he encontrado algo sobre este tema, no hay ninguna definición.

¿Podría alguien explicar la definición de $p$ -¿grupo radical para mí? Muchas gracias.

Answer 1

Dado que la única etiqueta que pones es teoría de grupos, puede darse el caso de que no tengas la formación adecuada para entender la siguiente definición. No obstante, he aquí un intento.

En primer lugar $\mathbb{Q}_p$ sea el campo de $p$ -y que $\overline{\mathbb{Q}}_p$ sea un cierre algebraico. Sea $G=Gal(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ . Si miras el campo $\overline{\mathbb{Q}_p}$ se puede ver que es el conjunto solución del polinomio cero, y que el polinomio cero es el único polinomio que desaparece idénticamente en $\overline{\mathbb{Q}}_p$ . Decimos que $\overline{\mathbb{Q}}_p$ es un grupo algebraico asociado al variedad afín correspondiente al conjunto de fuga del polinomio cero. El grupo algebraico $\mathbb{Q}_p$ es ahora el conjunto de puntos fijos (los llamamos $\mathbb{Q}_p$ -puntos racionales) para la acción de Galois de $G$ en $\overline{\mathbb{Q}}_p$ . Obsérvese que está bien definido porque el polinomio cero es definido sobre $\mathbb{Q}_p$ es decir, sus coeficientes se encuentran en $\mathbb{Q}_p$ .

Otro ejemplo $\overline{\mathbb{Q}}_p^\times$ . Esto puede identificarse con el conjunto de fuga del polinomio $XY-1$ en $\overline{\mathbb{Q}}_p^2$ . De nuevo, puesto que $XY-1$ se define sobre $\mathbb{Q}_p$ podemos ver el grupo algebraico $\mathbb{Q}_p^\times$ como el conjunto de puntos fijos de la acción de $G$ en $\overline{\mathbb{Q}}_p^\times$ .

Ahora, de forma más general, lo que necesitas es una variedad afín $X$ en $\overline{\mathbb{Q}}_p$ con una estructura de grupo sobre ella que viene dada por ecuaciones polinómicas. Más concretamente, tanto la multiplicación como la inversión vienen dadas por ecuaciones polinómicas. Se trata de un grupo algebraico . Se dará como el conjunto de fuga de una colección de polinomios. Si estos polinomios pueden elegirse sobre $\mathbb{Q}_p$ así como los polinomios que dan la multiplicación y la inversión, entonces se tiene una acción de $G$ en $X$ y los puntos fijos formarán un grupo algebraico sobre $\mathbb{Q}_p$ . Por lo tanto, he aquí la definición:

A $p$ -es un grupo algebraico sobre a $p$ -o, más exactamente, es el campo $\mathbb{Q}_p$ -puntos racionales de un grupo algebraico sobre $\overline{\mathbb{Q}}_p$ .

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Lo anterior es una definición. He aquí un resultado muy importante:

Teorema : Todo grupo algebraico (afín) es lineal, es decir, puede realizarse como subgrupo de un grupo matricial.

Por lo tanto, cada $p$ -un grupo de matrices con entradas en el campo $\mathbb{Q}_p$ de $p$ - los números radicales.

Answer 2

Lo siguiente es no es perfecto descripción de un $p$ -grupo radical, pero espero que ayude un poco.

Sea $F$ ser un no arquimediana ámbito local : Eso es que tienes un valoración $v: F \to \mathbb{Z}\cup \{\infty\}$ que satisface que $v\lvert_{F^{\times}}: F^{\times} \to \mathbb{Z}$ es un homomorfismo. Se tiene un subring de enteros $\mathcal{O}$ de $F$ que se define por $\mathcal{O} = \{r \in F\lvert v(f) \geq 0\}$ . Se tiene un ideal maximal único $\mathfrak{p}$ en $\mathcal{O}$ : $\mathfrak{p} = \{r \in \mathcal{O} \lvert v(r) > 0\}$ . Tenemos $\mathcal{O} / \mathfrak{p}$ es un campo; supongamos que es finito o de orden $q$ .

A $p$ -es un grupo sobre dicho campo. Se puede pensar, por ejemplo, en $GL_n(F)$ .

Como algo un poco más concreto, puede tomar $\mathbb{Q}$ . Aquí tiene una valoración $v$ definido por $v\left(\frac{a}{b}\right) = v(a) - v(b)$ donde si para $a\in \mathbb{Q}$ $a = p^nc$ , ( $p \nmid c$ ) $v(a) = n$ . La finalización de $\mathbb{Q}$ con respecto a la norma $\lvert x\lvert = \left(\frac{1}{q}\right)^{v(x)}$ se llama $\mathbb{Q}_p$ .

Nota: Hay otras formas de ver esto y probablemente haya gente que no esté de acuerdo con el esquema de la definición que he dado, pero quizás sea útil de todas formas sólo para ilustrar algunas de las cosas que se esconden en el fondo cuando se habla de $p$ -grupos radicales.