Absorción de casco convexo en suma de Minkowski

Question

Que $B \subseteq \mathbb{R}^n$ ser compacto. Existe algunos limitado conjunto de $D \subseteq \mathbb{R}^n$ $0 \in D$ tal que

$$ Conv(B) + D = B + D \quad ? $$

Aquí $+$ denota la suma de Minkowski y $Conv$ el casco convexo.

EDIT: debo señalar que puedo probar esto para varios casos especiales, como cuando $B$ tiene finito muchos puntos extremal o contiene el límite de su casco convexo. Suponiendo que la afirmación es cierta, parece como algo que debe ser conocida (y tal vez una prueba muy simple..).

Answer 1

$D=(n+1)\cdot Conv(B)$ obras.

Es trivial que $B+D\subset Conv(B)+D$; por lo que es suficiente para demostrar que $Conv(B)+D\subset B+D$. Tomar una arbitraria $x\in Conv(B)+D$; podemos demostrar que $x\in B+D$.

Sabemos que $x=b+(n+1)c$ con algunos puntos de $b,c\in Conv(B)$. Por Charatheodory del teorema, hay algunos puntos de $b_0,\ldots,b_n,c_0,\ldots,c_n\in B$ tal que $b\in Conv(b_0,\ldots,b_n)$ y $c\in Conv(c_0,\ldots,c_n)$, por lo que hay algunas pesos $p_0,\ldots,p_n,q_0,\ldots,q_n\ge0$ tal que $\sum_i p_i=\sum_i q_i=1$, $\sum_i p_i b_i = b$ y $\sum_i q_i c_i = c$. Debido a la simetría, podemos asumir que $q_0\ge\frac1{n+1}$. Entonces

$$ x = b + (n+1)c = \sum_{i=0}^n p_i b_i + (n+1) \sum_{i=0}^n q_i c_i = \\ = c_0 + (n+1)\left(\sum_{i=0}^n \frac{p_i}{n+1} b_i + \big(q_0-\frac1{n+1}\big)c_0 + \sum_{i=1}^n q_i c_i \right). $$ En el último paréntesis tenemos una combinación convexa de $b_0,\ldots,c_n$, por lo que $$ \left(\sum_{i=0}^n \frac{p_i}{n+1} b_i + \big(q_0-\frac1{n+1}\big)c_0 + \sum_{i=1}^n q_i c_i\right) \en Conv(B) $$ y, por tanto,$x\in B+(n+1)Conv(B)$.