¿Hay una descripción simple del anillo de endomorfismos?$\mathrm{End}(\mathbb{G}_m)$ De la ley formal del grupo$$\mathbb{G}_m(X,Y) = X + Y + XY,$$ at least over a ring of characteristic zero? I'm working with coefficients in $ \ mathbb {Z} _p$, $ p $ a prime.
Contiene al menos los polinomios$(1+X)^n - 1$,$n \in \mathbb{N}$, pero no estoy seguro de qué más.
No estoy seguro de la respuesta correcta a una pregunta de esta generalidad. Como mercio señala correctamente, si usted está buscando para $\Bbb Z_p$-endomorphisms, la respuesta es $\Bbb Z_p$ (nos estamos refiriendo a el anillo de $p$-ádico enteros aquí, por supuesto). Y si usted está buscando para el $\mathscr O$-endomorphisms, donde ese es el anillo de enteros en una extensión algebraica de $\Bbb Q_p$, la respuesta $\Bbb Z_p$, como se puede leer en el texto de Fröhlich. Pero si $R$ es cualquier sub-anillo de $\mathbb Q$, me parece como si $\text{End}_R(\Bbb G_m)$ volverá a ser $R$. ¿Qué pasa si usted toma un sub-anillo $R$ de una expresión algebraica campo de número de $K$? Creo que el $R$-endomorphisms de la multiplicativo grupo formal podría llegar a ser $R\cap\mathbb Q$. Puede ser un ejercicio divertido para trabajar.
Supongo primera que $k$ es un campo de caracteres $0$ y que estamos buscando en $\Bbb G_m(k)$
Supongamos $f(X) = \sum_{i \ge 1} a_i X^i \in k[[X]]$ es un endomorfismo de $\Bbb G_m(k)$.
A continuación, $f(X)+f(Y)+f(X)f(Y) - f(X+Y+XY) = \sum_{i,j \ge 1} c_{i,j}X^iY^j$ donde $c_{i,j}$ es una expresión polinómica en el $a_k$. Más precisamente, $c_{i,j} = a_ia_j - \sum_{0 \le k \le i,j} a_{i+j-k}\frac{(i+j-k)!}{(i-k)!(j-k)!k!}$
En primer lugar, nos damos cuenta de que tenemos mucho más ecuaciones que lo necesitamos. Simplemente mirando las ecuaciones $c_{i,1}=0$ obtenemos $a_{i+1} = \frac 1 {i+1}a_i(a_1-i)$ y esto nos dice que hay una solución para cada una de las $a_1$.
En segundo lugar, para $m \in \Bbb Z$, $f(X)= (1+X)^m-1$ da la solución del sistema de ecuaciones con $a_1 = m$ (tenga en cuenta que $(1+X)^{-1} = 1-X+X^2-X^3 + \ldots$). Esto significa que las ecuaciones $c_{i,j} = 0$$i,j>1$, cuando expresamos $a_i$ $i \ge 2$ en términos de $a_1$, el retorno de una ecuación polinómica en $a_1$ que tiene una infinidad de soluciones, por lo tanto el polinomio cero : por lo que son consecuencias de las ecuaciones $c_{i,1}=0$.
De ahí el endomorfismo anillo de $\Bbb G_m(k)$ es isomorfo a $(k,+,\times)$ :
Si $f(X) = \sum a_iX^i$, $f$ está totalmente determinado por $a_1$, y por el contrario, para cualquier $a \in k$, no es el endomorfismo $f_a(X) = aX + a(a-1)X^2/2 + a(a-1)(a-2)X^3/6 + \ldots $, que es todo lo que nos quieras $(1+X)^a-1$ si tiene sentido.
Composición de endomorphisms corresponden a la multiplicación en $k$ : $f_a \circ f_b = f_{ab}$.
Además de en $k$ corresponde a la adición (a través del grupo formal de la ley) de $f_a$ con $f_b$ : $f_{a+b} = f_a + f_b + f_af_b$
Si trabajamos a través de una $R$ que es sólo una parte integral de dominio de carácter $0$, $End(\Bbb G_m(R))$ es el sub-anillo de $R$ que consiste en la $a_1$ generando una secuencia $(a_n)$ de los elementos de $R$.
Si $R = \Bbb Z[X]$ por ejemplo,$End(\Bbb G_m(R))= \Bbb Z$. Si $a_1$ es un polinomio no constante con los principales coeficiente de $c$ $a_n$ es un polinomio con las principales coeficiente de $c^n/n!$, que no es un número entero al $n$ es lo suficientemente grande.
Si $R = \Bbb Z_p$, entonces tenemos $End(\Bbb G_m(R)) = R$ : dado un poco de $n \ge 1$, $a(a-1)\ldots(a-n+1) \in n!R$ para $a\in \Bbb Z$, e $\Bbb Z$ es denso en $R$ así que esto es cierto para $a \in R$.
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