Quiero calcular$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2(s^2+a^2)}\right\}$ usando el teorema de convolución$\mathcal{L}\{f*g\}=\mathcal{L}\{f\}\cdot\mathcal {L}\{g\}$. Ya lo he calculado utilizando la descomposición de fracciones parciales que arroja$\frac{t}{a^2} - \frac{\sin(at)}{a^3}$.
Mi acercamiento:
ps
ps
ps
pero la última integral es claramente divergente. ¿Qué hice mal?
Tenga en cuenta que tenemos
ps
y
ps
Entonces, la aplicación del teorema de convolución rinde
$$ \begin{align} \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2(s^2+a^2)} \right\}&=(f*g)(t)\\\\ &=\int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau)\,d\tau\\\\ &=\int_{-\infty}^\infty (t-\tau)u(t-\tau)\frac{\sin(|a|t)}{|a|}u(\tau)\,d\tau\\\\ &=\int_0^t (t-\tau)\frac{\sin(|a|t)}{|a|}\,d\tau\tag1 \end {align} $$
Lo dejamos como ejercicio para evaluar$$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac1{s^2}\right\}=tu(t)$.
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