Demostrar que $\mathbb{Z} [x] $ no es isomorfo a $\mathbb{Q}[x,y]$.

Question

Sé que no son tanto UFDS, pero los dominios no-euclidianos ni PIDS. El argumento que he visto que demuestren que no son isomorfos va a lo largo de las líneas de decir el número de elementos inversible en cada anillo es diferente. Si este es válido, aún tengo problemas para ver por qué la orden del subconjunto invertible debe conservarse bajo isomorfismos de anillo.

Answer 1

Supongamos que $R$ $S$ son anillos y que $f:R\to S$ es un isomorfismo. Que $R^\times\subset R$ $S^\times \subset S$ ser los respectivos subconjuntos de elementos inversible.

Su objetivo es mostrar que $f(R^\times)=S^\times$, que (ya $f$ es un bijection) demuestra que $|R^\times|=|S^\times|$. Una buena manera de proceder sería mostrar que $f(R^\times)\subseteq S^\times$ y que $S^\times\subseteq f(R^\times)$. Sugerencia: Utilice el hecho de que $f$ y $f^{-1}$ son homomorphisms.