Reducción de un par de indefinidas formas cuadráticas de la forma canónica

Question

Suponga $A, B$ que es un par de matrices simétricas más reales. Vamos $$ \varphi_1(x) = (x, Ax)\\ \varphi_2(x) = (x, Bx). $$ Hay un conocido resultado de que si $A > 0$, entonces el par de formularios pueden ser llevados por la misma transformación a $$ \varphi_1 = \sum_{i=1}^n z_i^2\\ \varphi_2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i z_i^2. $$ Esto corresponde a la siguiente factorización de $A, B$: $$ A = SS^\la parte superior,\quad B = SDS^\top\\ D = \operatorname{diag} \lambda_i. $$ Para obtener esta forma se puede realizar la descomposición de Cholesky de a $A = LL^\top$ y el autovalor de la descomposición de $L^{-1}BL^{-\top} = UDU^\top$ (tenga en cuenta que $(L^{-1}BL^{-\top})^\top = L^{-1}B^\top L^{-\top} = L^{-1}B L^{-\top}$). Así $$ A = LL^\top = LUU^\la parte superior de la L^\top = (LU)(LU)^\top\\ B = LUDU^\la parte superior de la L^\top = (LU)D(LU)^\top\\ S = LU. $$

Me pregunto si similar de descomposición $$ A = SD_1S^\top\\ B = SD_2S^\la parte superior $$ puede ser obtenida sin la suposición de $A > 0$. Traté de LDL descomposición para $A$ en lugar de Cholesky, pero que no parece funcionar.

La actualización. Parece que no hay tal descomposición es posible para un valor real $S$, lo que en realidad me sorprende. E. g. $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ S^{-1} = \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{pmatrix}\\ S^{-1}^{- \top} = \begin{pmatrix} s_{11}^2 - s_{12}^2 & s_{11}s_{21}-s_{12}s_{22} \\ s_{11}s_{21}-s_{12}s_{22} & s_{21}^2 -s_{22}^2 \end{pmatrix}\\ S^{-1}BS^{-\top} = \begin{pmatrix} 2s_{11}s_{12} & s_{12}s_{21}+s_{11}s_{22} \\ s_{12}s_{21}+s_{11}s_{22} & 2s_{21}s_{22} \end{pmatrix}\\ s_{11}s_{21}-s_{12}s_{22} = 0\\ s_{12}s_{21}+s_{11}s_{22} = 0\\ s_{12}s_{21}-s_{11}s_{22} \neq 0 $$ Así $$ s_{11}s_{21} = s_{12}s_{22} \implica s_{11}s_{12}s_{21} = s_{12}^2s_{22}\\ s_{12}s_{21} = -s_{11}s_{22} \implica s_{11}s_{12}s_{21} = -s_{11}^2s_{22}. $$ Este sistema no tiene un valor real de la solución. Me pregunto si puede ser demostrado por el general $A = A^\top, B = B^\top$.

Answer 1

Daniel dio una buena respuesta. En particular, vamos a $A=diag(I_p,-I_p),B=[b_{i,j}]$, donde el$b_{i\leq 2p,j\leq 2p}$$0$, excepto, para cada $i$, $b_{i,2p-i+1}=1$. Para cada una de las $\lambda$, $A+\lambda B$ es invertibe y, en consecuencia, $S$ no existe.

Sin embargo, el recíproco es falso. De hecho, vamos a $A=diag(1,1,-1),B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$; a continuación, $A-B$ es singular y (utilizando Maple), no es real invertible $S$ s.t. $SAS^T,SBS^T$ son diagonales.

EDIT. No es un resultado interesante, debido a la E. Pesonen y J. Milnor y debido a Greub y O. Taussky.

Proposición 1. Si $n\geq 3$ $(x\in \mathbb{R}^n, x^TAx=x^TBx=0)$ implica $x=0$, entonces no es un verdadero invertible $S$ s.t. $SAS^T,SBS^T$ son diagonales.

Prueba. De acuerdo a Finsler del teorema, se $s,t$ s.t $sA+tB>0$ y hemos reducido el problema a la estándar.

Proposición 2. Si $n\geq 3$ $A$ es invertible, entonces no es un verdadero invertible $S$ s.t. $SAS^T,SBS^T$ son diagonales, IFF $A^{-1}B$ es similar a una matriz diagonal real IFF $A^{-1}B=P^{-1}T$ donde $P,T$ son simétricas y $P>0$.