Un subconjunto cerrado y acotado $A$ de $\Bbb Q$ y una función continua $f : A → \Bbb R$ tal que $f$ no está acotado

Question

Encuentra un subconjunto cerrado y acotado $A$ de $\Bbb Q$ y una función continua $f : A →\Bbb R$ tal que $f$ no está acotado

Nota: $\Bbb Q$ es el conjunto de todos los racionales.

Mi solución:

$A=\{x:x\in\Bbb Q, 1\leq x\leq2\}$ . Claramente $A$ está limitada por debajo por $1$ y delimitado por encima por $2$ . También $A$ es cerrado ya que contiene sus puntos límite. Definir $f : A →\Bbb R$ tal que $f(x)=\frac1{x-1}$ . $f(x)$ no está acotado en $x=1$ pero no estoy seguro de su continuidad en $x=1$ . ¿La continuidad correcta en $x=1$ ¿sólo asegurar que la función es continua?

Lo que es más importante es la pregunta de cómo esto no viola el teorema de que la imagen de un conjunto compacto es compacta bajo una función continua. Dado que $A$ es compacto (cualquier cubierta abierta de $A$ tiene una subcubierta finita), las imágenes de $A$ en $f$ también debe formar un conjunto compacto lo que implica que el conjunto imagen es cerrado y acotado, contradicción.

Answer 1

Por desgracia, eso no funciona, ya que $f$ no se define en $1$ o en $2.$ Sin embargo, tienes la idea general correcta. En cambio, puedes elegir algún número irracional $\beta$ con $1<\beta<2,$ y que $f(x)=\frac1{x-\beta}.$

Alternativamente, proceda más o menos como lo ha hecho, pero en cambio, deje que $A:=\{x\in\Bbb Q:\alpha\le x\le\beta\}$ para algunos irracionales $\alpha,\beta$ con $\alpha<\beta,$ entonces pon $f(x)=\frac1{(x-\alpha)(x-\beta)}.$ $A$ resulta ser cerrado, y claramente acotado, y el resto es bastante sencillo.

Como nota al margen, $\Bbb Q$ (con la métrica habitual) es un buen ejemplo de espacio métrico en el que "cerrado y acotado" no tiene por qué implicar "compacto", cuya demostración es (sospecho) más o menos el objetivo de este ejercicio.