El área de un polígono inscrito en una elipse

Question

Recientemente he encontrado un documento que describe que el error de área porcentual de un polígono inscrito dentro de un círculo puede ser calculado usando la siguiente fórmula.

La salida del algoritmo es un conjunto de $N$ $(x,y)$ puntos. Estos $N$ se conectan para formar un polígono que se aproxima a la membrana celular. Una estimación del error introducido a partir de esta representación se puede calcular comparando una membrana celular perfectamente circular con un $N$ - un polígono con inscripción lateral. El error de área porcentual debido a esta subestimación se da en función de $N$ : $$ \text {Error} = 1 - \frac {N}{ \pi }\; \sin\frac { \pi }{N}\; \cos\frac { \pi }{N} = 1 - \frac {N}{2 \pi }\; \sin\frac {2 \pi }{N}$$

Mi pregunta es: ¿Cómo construiría una fórmula similar para un polígono inscrito en una elipse?

Estoy luchando por entender esto, y explicaría ciertas diferencias en la forma elíptica que estoy midiendo en mi experimento. (podemos hacer una suposición de que las células son perfectamente elípticas).

No tengo formación matemática, así que por favor sea considerado :)

PAPEL: http://onlinelibrary.wiley.com/enhanced/doi/10.1046/j.0022-2720.2001.00976.x

Answer 1

Cualquier elipse se convierte en un círculo mediante una dilatación $\psi$ y cualquier dilatación preserva las relaciones entre áreas, por lo que los dos problemas son los mismos: aplicar $\psi$ resolver el problema en el círculo, aplicar $\psi^{-1}$ .

Así tenemos que la envolvente convexa de $n\geq 3$ puntos de una elipse tiene un área delimitada por $$ \frac{n}{2\pi}\,\sin\frac{2\pi}{n} $$ veces el área de la elipse, es decir $\pi a b$ con $a$ y $b$ siendo las longitudes de los semiejes.

Answer 2

Un círculo en $(x,y)$ coordenadas pueden ser descritas por ecuaciones paramétricas paramétricas como esta:

$$\begin{align} x &= x_c + r \cos \theta \\ y &= y_c + r \sin \theta \end{align}$$

donde $(x_c, y_c)$ es el centro del círculo y $r$ es el radio.

Los puntos de un polígono regular sobre esa circunferencia son sólo los puntos encontrados al establecer $\theta = \frac{2\pi}{n} k$ para $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$ . Es decir, dividimos el ángulo de una rotación completa de una vez ( $2\pi$ radianes, que es $360$ grados) en $n$ ángulos iguales y poner puntos en el círculo separados por esos ángulos cuando se ven desde el centro. Esos puntos son los vértices de un polígono regular.

Si en su lugar escribimos

$$\begin{align} x &= x_c + a \cos \theta \\ y &= y_c + b \sin \theta \end{align}$$

obtenemos una elipse con semieje mayor $a$ y el eje semiprincipal $b$ alineado con el $x$ y $y$ ejes. Es imposible poner más de cuatro puntos de un polígono regular en una elipse (a menos que sea un círculo, que es un caso especial de una elipse), pero sí se pueden poner puntos en $\theta = \frac{2\pi}{n} k$ para $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$ . Estos seguirán siendo los vértices de un polígono, sólo que no será un polígono regular. La fórmula del "porcentaje del área" es la misma que para un círculo.

Para girar la elipse en un ángulo $\alpha$ (en caso de que esté trazando una elipse que no está alineada con sus ejes de coordenadas),

$$\begin{align} x &= x_c + a \cos\alpha \cos\theta - b \sin\alpha \sin\theta \\ y &= y_c + b \cos\alpha \sin\theta + a \sin\alpha \cos\theta. \end{align}$$

Si no te gusta cómo están dispuestos los puntos alrededor de la elipse (siempre hay un punto en un extremo del semieje mayor ya que ponemos un punto en $\theta=0$ por ejemplo) puede elegir puntos en $\theta = \theta_0 + \frac{2\pi}{n} k$ para $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$ donde $\theta_0$ es un ángulo constante que has elegido.

La fórmula sigue siendo $$\text{Error} = = 1 - \frac{N}{2\pi}\;\sin\frac{2\pi}{N}.$$