Encontrar subgrupos Sylow p

Question

Estoy probando algunos ejemplos de búsqueda de subgrupos Sylow p en grupos específicos y buscando la forma más eficiente de hacerlo. Por ejemplo, digamos que necesitamos encontrar subgrupos Sylow-3 en $A_4$ y $D_6$ grupo diédrico de orden 12. Usando los teoremas de sylow encontré que sólo puede haber $1,4$ 3-subgrupos bajos en el grupo de orden 12. Pero, ¿cómo encontramos realmente estos subgrupos? Dado que estos grupos son de orden pequeño, quizás comprobar los órdenes de cada elemento podría funcionar, pero no es la mejor manera. ¿Hay algún truco o teorema para encontrar los subgrupos?

Answer 1

En ambos $A_4$ y $D_6$ los subgrupos Sylow 3 son de orden $3$ (la mayor potencia de $3$ que divide el orden del grupo $12$ ), por lo que es cíclico. Así que encontrar un dicho subgrupo equivale a encontrar un elemento de orden $3$ en el grupo, lo que puedes hacer por inspección. Y una vez que tienes un subgrupo Sylow 3, puedes encontrar todos los demás (si hay otros) porque son conjugados del que tienes (o simplemente puedes buscar más elementos de orden $3$ ).