Estoy tratando de calcular un difícil integral que reduce a la siguiente pregunta:
Si $\displaystyle I = \int _0 ^1 \frac{\ln (- \ln x)}{x^2 + x + 1} \mathrm{d}x$ e e $\displaystyle J = \frac{1}{2} \int _0 ^1 \frac{\ln (- \ln x)}{x^2 - x + 1} \mathrm{d}x$ lo $I-J$?
Esto viene al intentar calcululate la integral de la $\displaystyle \int_{0}^{1}{t-3t^3+t^5\over 1+t^4+t^8}\cdot \ln(-\ln t) \mathrm dt.$
Me han dicho que esta integral se evalúa a $\displaystyle {{\pi\over 3\sqrt{3}}}\cdot {\ln 2\over 2}$ (probablemente por lo simbólico de la calculadora).
Se puede demostrar que es igual a $I-J$. Ahora tratando de encontrar a $I$ $J$ por separado parece ser más difícil que encontrar la diferencia, pero todavía no puedo encontrar ninguna simetría obvia para explotar entre ellos. Me han hecho la siguiente observación - que parece ser bastante inútil, a menos que me estoy perdiendo algo.
Definir $\displaystyle \mathcal{I}(\lambda)= \int_0^1 \frac{\log(-\lambda \log(x))}{1+x+x^2}\mathrm{d}x, ~~ \mathcal{J}(\lambda)= -\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\log(-\lambda \log(x))}{1-x+x^2}\mathrm{d}x$,
Luego tenemos a $\displaystyle \mathcal{I}(\lambda) = \frac{\pi \log(\lambda)}{3\sqrt{3}}+\mathcal{I}(1)$ $\displaystyle \mathcal{J}(\lambda) = -\frac{\pi \log(\lambda)}{3\sqrt{3}}+\mathcal{J}(1)$
Pero parece que todo lo que está diciendo es que el $\mathcal{I}(\lambda)+\mathcal{J}(\lambda) =\mathcal{I}(1)+\mathcal{J}(1)$ ($\mathcal{I}+\mathcal{J}$ es independiente de $\lambda$). En este punto se siente como que hay una revelación que podría hacer el truco, pero no lo veo.
