Semigrupos de Clifford nilpotentes.

Question

Esta definición que he encontrado en este trabajo "Nilpotent inversa semigroups con central idempotents" por G. Kowol y H. Mitsch( 1982) : Deje $S$ ser finito, Clifford semigroup, $S= \bigcup S_{e_{n}}$,$e_{n} \in E(S)$. Para cada $x \in S$ deje $o(x)$ denotar el orden de $x$ en el grupo $S_{e_{n}}$, a la que pertenece; además vamos a $p_{1},...,p_{n}$ todos los primos divisores de los pedidos de los grupos de $S_{e_{n}}, e_{n} \in E(S)$. A continuación, $S$ será llamado $nilpotent$, si los siguientes subconjuntos de a $S$ son subsemigroups ($i=1,...,n$) $P_{i}=\left\{x \in S| o(x)=p_{i}^{k_{s}}, k_{s}\geq 0 \right \}$.

¿Esto tiene sentido: $S$ es finito Clifford semigroup. $S$ es nilpotent si y sólo si su máxima imagen del grupo es nilpotent semigroup? Gracias Mi idea es la siguiente: demostrar primero que $G$( el máximo de la imagen del grupo de $S$) es también una Clifford semigroup y, a continuación, comprobar si la definición de nilpotent semigroup cogida. De lo contrario todavía no tengo ni idea! Por favor alguien puede ayudar y compartir sus pensamientos? Gracias por adelantado!

Answer 1

¿Esto tiene sentido: $S$ es finito Clifford semigroup. $S$ es nilpotent si y sólo si su máxima imagen del grupo es nilpotent semigroup?

Si la frase es así, entonces es falso. A ver ¿por qué es falsa, lindan con un cero elemento de a $S$, y tenga en cuenta que el resultado de la semigroup es nilpotent Clifford semigroup si y sólo si $S$ es nilpotent Clifford semigroup. Pero el máximo del grupo de imágenes de esta nueva semigroup es el grupo que consta sólo de la identidad. Así que lo que realmente significaba. (preguntar) es, probablemente,

$S$ es nilpotent si y sólo si el máximo de la imagen del grupo de todos los subsemigroups son nilpotent grupos?

Desde un subsemigroup de un número finito de Clifford semigroup es de nuevo una Clifford semigroup, y el máximo de la imagen del grupo de un número finito de Clifford semigroup es$S_{e_{min}}$$e_{min}=e_1\cdot \dots \cdot e_n$, el "sólo si" parte sostiene.

Para el "si" de la parte, observe que la condición es equivalente a cada una de las $S_{e_n}$ ser un nilpotent grupo. Ahora $xy= (xe_{xy})(ye_{xy})$. Si $o(x)=p^{k_x}$$o(y)=p^{k_y}$, $o(xe_{xy})=p^{k'_x}$ $o(ye_{xy})=p^{k'_y}$ ( $k'_x\leq k_x$ $k'_y\leq k_y$ ). Y desde $S_{e_{xy}}$ es nilpotent y $xe_{xy},ye_{xy}\in S_{e_{xy}}$, $o(xy)=p^{k_{xy}}$.

Así que si eso es lo que quería preguntar, entonces sería cierto. Hay otra interpretación de lo que usted podría tener la intención de preguntar:

Deje $e_{max}$ ser el elemento maximal de a $E(S)$ (lo cual no garantiza que existe, y va a ser el elemento de identidad cuando existe). A continuación, $S$ es nilpotent si y sólo si $S_{e_{max}}$ es nilpotent?

Esto también es falso. A ver ¿por qué es falsa, lindan con un elemento de identidad a $S$, y tenga en cuenta que el resultado de la semigroup es nilpotent Clifford semigroup si y sólo si $S$ es nilpotent Clifford semigroup. Pero $S_{e_{max}}$ de esta nueva semigroup es el grupo que consta sólo de la identidad.