Cómo encontrar este valor$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^22^{3n+1}}$

Question

muestre que:$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{(n!)^22^{3n+1}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}?$ $

esta suma proviene de otro problema, si resuelvo esto, entonces el otro problema es resolverlo

Answer 1

Sugerencia: ¿qué es $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ al $f(x) = \sqrt{1-x}$?

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Calcular los primeros términos: \begin{align} f^{(0)}(x) &= \sqrt{1-x}\\ f^{(1)}(x) &= -\frac 12 (1-x)^{-1/2} \\ f^{(2)}(x) &= -\frac 14 (1-x)^{-3/2} \\ \end{align}

El exponente de $1-x$ $f^{(n)}(x)$ es obviamente $1/2 - n$. Así que cuando usted derivados, el frente factor se multiplica por $1/2 - n$ conseguir $f^{(n+1)}(x)$, y por $-1 $ debido a la regla de la cadena.

Por lo tanto el resultado es \begin{align}f^{(n+1)}(0) &= 1\times \left(\frac 12 - 0\right) \times \left(\frac 12 - 1\right) \times \dots \times \left(\frac 12 - n\right) \times (-1)^{n+1} \\ &= \frac{1\times 3 \times \dots \times (2n-1)}{2^{n+1}} (-1)^n \times (-1)^{n+1} = -\frac{1\times 3 \times \dots \times (2n-1)}{2^{n+1}}\\ &= -\frac{(2n)!}{2^{n+1} 2\times 4 \times \dots \times 2n} = -\frac{(2n)!}{2^{2n+1} n!} \end{align}

Usted puede comprobar que esto es cierto para los primeros valores: \begin{align} f^{(1)}(x) &= -\frac 12 = 1\times \frac 12 &\times (-1)^1 \\ f^{(2)}(x) &= -\frac 14 = 1\times \frac 12 \times \left(-\frac 12\right) &\times (-1)^2 \end{align}

Entonces, usted debe demostrar que la serie es convergente para $x=\frac 12$ y se obtiene: \begin{align} \sqrt{1-x} &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n+1)}(0) }{(n+1)!}x^{n+1} \\ &= 1 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{2^{2n+1} (n!)^2 (n+1)} x^{n+1} \end{align}

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Por desgracia, cuando se evalúa en $\frac 12$, esto no hace aparecer la suma deseada, debido a que el factor de $n+1$.

Podemos deshacernos de ella simplemente utilizando tern por el término de derivación: \begin{align} -\frac 12 (1-x)^{-1/2} &=- \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{2^{2n+1} (n!)^2} x^n\\ (1-x)^{-1/2} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} x^n \end{align}

Y ahora llegamos, con $x=1/2$: $$ \left(1-\frac 12\right)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{2^{3n} (n!)^2} $$

Answer 2

Sugerencia : Usando el teorema binomial generalizado , obtenemos $$ \begin{align} \left(1-x\right)^{-1/2} &=1+\frac12x+\frac{\frac12\cdot\frac32}{2!}x^2+\frac{\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52}{3!}x^3+\frac{\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\frac72}{4!}x^4+\dots\\[6pt] &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{2^kk!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k)!}{2^{2k}k!^2}x^k\\ \end {align} $$ Enchufa$x=\frac12$ y verifica el resultado.

Answer 3

Se trata de una serie binomial. Pruebe a escribir $\bigg(\dfrac12\bigg)^\tfrac12$ $\bigg(1-\dfrac12\bigg)^\tfrac12$ o $\Big(1+1\Big)^{^{-\tfrac12}}$. Continuación, simplificar el término general y ver qué pasa. :-$)$