¿simplemente conectividad implica componentes conectados sin límites?

Question

Deje $\Omega:=\{z\in\Bbb{C};\;0<\Im(z)<1\},$ es convexa, por lo que simplemente conectado.

Como podemos ver los dos componentes conectados de $\Bbb{C}\setminus\Omega$ son no acotados.

Cualquier ejemplo me puedo imaginar de abrir conjuntos conectados de $\Bbb{C}$ que se conecta simplemente tienen esta propiedad. Así que me imagino que el resultado siguiente es verdadero:

Deje $\Omega$ abierta conjunto conectado de $\Bbb{C}.$ Si $\Omega$ es simplemente conecta entonces la c $\Bbb{C}\setminus\Omega$ son no acotados.

Soy consciente de que un uso de la prueba, probablemente, la topología algebraica. No es un problema para leer, pero mucho más difícil de encontrar, creo.

Es el resultado verdadero? Si sí, ¿donde puedo encontrar una prueba?(incluso en la forma de ejercicio)

Answer 1

Es más fácil probar que la siguiente declaración equivalente: si $K \subset \mathbb C$ es compacto, entonces $\mathbb C - K$ no está simplemente conectado. (Set $K = \mathbb C - \Omega$ encontrar tu declaración original).

De hecho, si $R>0$ es lo suficientemente grande como $K$ compacta está contenida en el disco de $D(0,R)$, luego el círculo $S(0,R)$ es un circuito cerrado en la $\mathbb C - K$ que no es homotópica a un punto.

Edit: esto no es tan simple; lo que se debe demostrar es que : si $F$ es un subconjunto cerrado del plano con una limitada componente conectado,$K$, $\mathbb C- F$ no está simplemente conectado. Tengo que pensar un poco más.