¿Qué es una serie temporal integrada?

Question

En esta pregunta un comentarista dice que "diferenciar una serie que no está integrada es ciertamente problemático desde el punto de vista estadístico". ¿Qué es una serie temporal integrada y por qué es problemático diferenciar una serie que no está integrada?

Answer 1

Considere la primera diferencia $\Delta u_t$ de un proceso lineal (una forma bastante general de afirmar que algo no tiene raíz unitaria). $u_t=\sum_{j=0}^\infty\psi_j\epsilon_{t-j}$ con $\psi_0=1$ y $\sum_{j=0}^\infty|\psi_j|<\infty$ es decir $$ \Delta u_t=\sum_{j=0}^\infty\psi_j\epsilon_{t-j}-\sum_{j=0}^\infty\psi_j\epsilon_{t-j-1} $$ La varianza a largo plazo de $\Delta u_t$ es cero, por lo que un proceso estacionario no debería diferenciarse "demasiado" a menudo, ya que la varianza estimada a largo plazo, por ejemplo, entra en el denominador de los cocientes t, y tener una cantidad de población que es cero no debería estar en un denominador.

Encontramos el $MA$ secuencia de coeficientes de $\Delta u_t$ Llámalo $d(L)$ . A continuación demostramos que $d(1)^2=0$ .

Escriba a $$ \Delta u_t=\epsilon_t+\sum_{j=1}^\infty(\psi_j-\psi_{j-1})\epsilon_{t-j}\equiv\sum_{j=0}^\infty d_j\epsilon_{t-j} $$ con $d_0=\psi_0=1$ y $d_j=\psi_j-\psi_{j-1}$ . Por lo tanto $\sum_{j=0}^\infty d_j=1+\psi_1-\psi_{0}+\psi_2-\psi_{1}+\psi_3-\psi_{2}+\ldots=0$ .

La varianza a largo plazo puede escribirse como $J=\sigma^2(\sum_{j=0}^\infty d_j)^2$ . Por lo tanto, $J=0$ .

Esto se debe a que, en general, la varianza a largo plazo de un $MA(\infty)$ proceso $Y_t=\mu+\sum_{j=0}^\infty\psi_j\epsilon_{t-j}$ puede escribirse como $$ J=\sigma^2\biggl(\sum_{j=0}^\infty\psi_j\biggr)^2 $$ Toma $\sigma^2=1$ w.l.o.g. Escribiendo el lado derecho se obtiene \begin{eqnarray*} \biggl(\sum_{j=0}^\infty\psi_j\biggr)^2&=&\psi_0\psi_0+\psi_0\psi_1+\psi_0\psi_2+\psi_0\psi_3+\ldots\\ &&+\quad\psi_1\psi_0+\psi_1\psi_1+\psi_1\psi_2+\psi_1\psi_3+\ldots\\ &&+\quad\psi_2\psi_0+\psi_2\psi_1+\psi_2\psi_2+\psi_2\psi_3+\ldots\\ &&+\quad\psi_3\psi_0+\psi_3\psi_1+\psi_3\psi_2+\psi_3\psi_3+\ldots\\ &=&\ldots\\ &=&\sum_{j=0}^\infty\psi_j^2+2\sum_{j=0}^\infty\psi_j\psi_{j+1}+2\sum_{j=0}^\infty\psi_j\psi_{j+2}+2\sum_{j=0}^\infty\psi_j\psi_{j+3}+\ldots\\ &=&\gamma_0+2\gamma_1+2\gamma_2+2\gamma_3+\ldots\\ &=&J \end{eqnarray*} donde la penúltima línea utiliza expresiones para autocovarianzas de $MA(\infty)$ -procesos.