Integrabilidad de Riemann y medida de Jordania

Question

Se puede demostrar que si una función es Riemann-integrable $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ entonces su gráfico es medible y tiene Jordania medida $0$. ¿Es lo contrario, para una verdadera función?

Es decir;

Si una función $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, el conjunto de ${(x,f(x)) | x \in [a,b]}$ es Jordania medible con medida $0$, sigue que el $f$ es Riemann-integrable.

Answer 1

Tomar la función $f :[0,1] \to \mathbb{R}$ donde

$f (x) =\begin{cases}\ 1 & x \in \mathbb{Q}\cap [0,1]\ 0 & x \in \mathbb{Q}^c \cap [0,1] \end{casos} $

La gráfica de esta función tiene contenido de Jordania cero lo que implica que tiene medida cero de Jordania.

Pero $f$ no es integrable de Riemman.

Answer 2

Al principio me iba a contestar a su pregunta en forma afirmativa, pero realmente no podía encontrar cualquier error en las respuestas ya dadas así que me detuve por un tiempo para averiguar por qué quería una respuesta afirmativa. Esto es lo que he averiguado.

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Vamos a empezar con el siguiente teorema

Teorema: Vamos a $A$ ser no vacío y acotado subconjunto de $\mathbb{R} \times \mathbb{R} $. A continuación, $A$ Jordania es medible si y sólo si el límite de $A$ ha Jordania medida $0$.

Y Riemann integración está íntimamente vinculado con Jordania medida a través de la siguiente teorema

Teorema: Vamos a $f:[a, b] \to\mathbb{R} $ ser un no-negativo de la función y dejar $$A=\{(x, y) \mid x\in[a, b], 0\leq y\leq f(x) \} $$ be its subgraph (area below the graph). Then $Un$ is Jordan measurable if and only $f$ is Riemann integrable on $[a, b] $ and further Jordan measure of $$ is equal to the Riemann integral $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Yo era muy consciente de estos dos teoremas se indicó anteriormente y, a continuación, a partir de estos, se puede concluir que

La integral de Riemann de $f$ $[a, b] $ existe si y sólo si el límite de subgrafo de $f$ es de Jordania medida $0$.

El límite de subgrafo de $f$ tiene cuatro partes: dos coordenadas en $a$ $b$ de las longitudes $f(a) $$f(b) $, parte de $x$ eje $a$ $b$y, finalmente, la gráfica de $f$. Las tres primeras partes han Jordania medida $0$ y de ahí se sigue que la integral de Riemann de $f$ $[a, b] $ existe si y sólo si la gráfica de $f$ es de Jordania medida $0$.

Esto es incorrecto!! La sutil falla en el argumento del párrafo anterior es sobre el cuarto componente de la frontera de la región debajo de la gráfica de $f$. Esto no sólo puede ser la gráfica de $f$, pero en lugar de incluir más puntos si la función es muy discontinua. Por lo tanto si $f$ es la función característica de los racionales en $[0,1] $ todo el subgrafo de $f$ es el límite y se ha exterior Jordania medida $1$. La gráfica de $f$ aquí todavía es de Jordania medida $0$.

Answer 3

SUGERENCIA:

La gráfica de una función con un número finito de imagen ha Jordania medida $0$.

$\bf{Added:}$ Después de que hemos visto que la respuesta a la OP pregunta es negativa ( ya que cada función con decir que una imagen $\subset \mathbb{R}$ de Jordania medida $0$ tiene también la gráfica de Jordania medida $0$), aún es un resultado que debe ser contestada en forma afirmativa. Supongamos por simplicidad que $f$ es positivo. A continuación, $f$ es de Riemann intégrable si y sólo si el subgrafo $\{ y \le f(x) \}$ es medible Jordan, y la integral de $f$ es la medida de la subgrafo. La prueba no es difícil.