Pregunta básica sobre derivado no estándar

Question

Estoy tratando de entender cómo funciona el derivado no estándar.

Por ejemplo, considere la función

$f(x) = \frac{1}{2} x^2$

El derivado es

$f'(x) = st \left( \frac{\frac{1}{2}(x + \epsilon)^2 - \frac{1}{2}x^2}{\epsilon} \right)$

infinitesimal $\epsilon$. Esto funciona a

$f'(x) = st(x + \frac{\epsilon}{2}) = st(x)$

Así que el derivado de $\frac{1}{2} x^2$ es la función de parte.

¿Es esto correcto? Yo estaba esperando el derivado que $f'(x) = x$ en su lugar. $st(x)$ ni siquiera tiene el mismo dominio que la función original. ¿O estoy yo mal entendido algo?

Answer 1

La definición estándar de derivados que usted cita en su pregunta define la función derivada ordinario, asignación números reales $x$ $f'(x)$ de los números reales. Aquí $f$ sí mismo también debe ser una función ordinaria traz los números reales a los números reales. Donde la definición parece aplicar $f$ $x+\varepsilon$, % entrada, no estándar debe no el ordinario $f$, sino más bien su extensión canónica, generalmente llamado ${}^*!f$, que lleva hyperreals hyperreals.

Answer 2

$$f'(x) = st \left( \frac{\frac{1}{2}(x + \epsilon)^2 - \frac{1}{2}x^2}{\epsilon} \right)= st \left( \frac{\frac{1}{2}x^2 + \epsilon x + \frac{1}{2}\epsilon^2 - \frac{1}{2}x^2}{\epsilon} \right) \ = st \left( \frac{\epsilon x + \frac{1}{2}\epsilon^2}{\epsilon} \right) = st \left( x + \frac{1}{2}\epsilon\right)=x$$

Tenga en cuenta que la función de parte estándar es una función de los hyperreals a los reales. Sólo podemos evaluar, ya que es real $x$. Puesto que $\epsilon$ es extremadamente pequeña, $x$ es el número real más cercano. (Supongo que quieres el derivado con dominio $\mathbb R$, no con los hyperreals como dominio)