Como Aasa Beag Dubh dice en los comentarios, el punto clave es utilizar el principio de separación para reducir los cálculos para el caso de la línea de paquetes. Todo se vuelve más o menos, un ejercicio en el simétrica de la función de la teoría. Aquí están los cuatro ejemplos básicos:
El paquete doble
Si $L$ es una línea de un paquete con clase de Chern $c_1(L)$, el doble de la línea de paquete de $L^{\ast}$ es isomorfo a la inversa de la línea de paquete y por lo tanto tiene clase de Chern $c_1(L^{\ast}) = - c_1(L)$. Si $V \cong \bigoplus_i L_i$$V^{\ast} \cong \bigoplus_i L_i^{\ast}$, por lo que tenemos
$$c(V^{\ast}) = \prod_i (1 - c_1(L_i))$$
a partir de la cual se deduce que
$$c_i(V^{\ast}) = (-1)^i c_i(V).$$
El tensor de paquete
Si $L, L'$ son de la línea de paquetes con clases de Chern $c_1(L), c_1(L')$, entonces el producto tensor $L \otimes L'$ tiene clase de Chern $c_1(L \otimes L') = c_1(L) + c_1(L')$. Si $V \cong \bigoplus_i L_i$$V' \cong \bigoplus_j L_j'$, luego
$$V \otimes V' \cong \bigoplus_{i, j} L_i \otimes L_j'$$
así tenemos
$$c(V \otimes V') = \prod_{i, j} (1 + c_1(L_i) + c_1(L_j')).$$
La extracción de más explícito fórmulas de esto es un tedioso ejercicio. Una alternativa a esto es el uso de la Chern carácter, que es multiplicativa con respecto al producto tensor de diseño:
$$\text{ch}(V \otimes V') = \text{ch}(V)\text{ch}(V').$$
Por ejemplo, esto da
$$c_1(V \otimes V') = c_1(V) \dim V' + c_1(V') \dim V.$$
Usted puede obtener correspondientes fórmulas para el hom lote mediante el isomorfismo $V^{\ast} \otimes W \cong \text{Hom}(V, W)$.
El simétrico de los poderes
Es más limpio para hacer todo el simétrico de poderes a la vez. La clave es el isomorfismo
$$S(V \oplus W) \cong S(V) \otimes S(W)$$
donde $S(V) \cong \bigoplus_i S^i(V)$ es el álgebra simétrica. Este es un isomorfismo de graduados vector de paquetes, y recordando la clasificación es importante en lo que viene a continuación. Si $V \cong \bigoplus_i L_i$, se deduce que
$$S(V) \cong \bigotimes_i S(L_i)$$
y de ahí que el graduado de Chern carácter de $S(V)$, como graduado vector paquete, puede ser calculada como
$$\text{ch}(S(V)) = \sum_k t^k \text{ch}(S^k(V)) = \prod_i \text{ch}(S(L_i)) = \prod_i \frac{1}{1 - t e^{c_1(L_i)}}$$
donde $t$ es una forma variable. De nuevo, la extracción de más explícito fórmulas de esto es un tedioso ejercicio.
El exterior poderes
Como para el simétrico de poderes, tenemos de nuevo
$$\Lambda(V \oplus W) \cong \Lambda(V) \oplus \Lambda(W)$$
donde $\Lambda(V) \cong \bigoplus_i \Lambda^i(V)$ es el exterior de álgebra. La discusión es exactamente el mismo que para el álgebra simétrica salvo que la última Chern carácter de cálculo es un poco diferente, y tenemos
$$\text{ch}(\Lambda(V)) = \sum_k t^k \text{ch}(\Lambda^k(V)) = \prod_i \text{ch}(\Lambda(L_i)) = \prod_i (1 + t e^{c_1(L_i)}).$$
Una vez más, la extracción de más explícito fórmulas de esto es un tedioso ejercicio. Para empezar en $c_2(\Lambda^2(V))$, observando el coeficiente de $t^2$ tenemos
$$\text{ch}(\Lambda^2(V)) = \sum_{i < j} e^{c_1(L_i) + c_1(L_j)}.$$
El primer término de esta expansión le da la dimensión de $\Lambda^2(V)$, lo que usted ya sabe. El segundo término da la primera clase de Chern, que es
$$c_1(\Lambda^2(V)) = (\dim V - 1) c_1(V).$$
El tercer término le da el tercer término en la Chern carácter de $\Lambda^2(V)$, lo que usted necesita para corregir un poco por $c_1^2$ conseguir $c_2$.
