Calcular un límite con infinitos términos

Question

Me he encontrado con este límite :

$$\lim_{n\to\infty} \frac1n \left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\cdots+\sin{\frac{(n-1)\pi}{n}}\right)$$

Wolfram da el valor: $2\over \pi$ .

Hicimos algo parecido en clase. Si considero la función $\sin(x\pi)$ y la partición equidistante: $j\over n$ Puedo transformar de alguna manera este problema en una integral.

¿Podría alguien darme algunos consejos y \or orientación sobre cómo proceder en este problema.

Gracias por cualquier sugerencia de antemano.

editar: Muchas gracias, chicos.

Answer 1

La expresión cuyo límite se quiere calcular es una suma de Riemann para la integral $$ \int_0^1\sin(\pi\,x)\,dx. $$

Answer 2

Sugerencia :-

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\sin \left(\dfrac{i\pi}{n}\right)=\displaystyle\int_{0}^1\sin (\pi x) \ dx$

Answer 3

Es una suma de Riemann para la integral $$ \int_0^1 \sin(\pi x)\,dx. $$ La partición es $0,\dfrac1n,\dfrac2n,\dfrac3n,\ldots\dfrac n n$ para que $\Delta x$ es $1/n$ en cada caso. Tome el valor de la función $x\mapsto\sin(\pi x)$ en el extremo izquierdo de cada subintervalo.