Cuál es la diferencia--suma producto directo de grupos cíclicos

Question

<blockquote> <p><strong>Posible duplicado:</strong><br> <a href="http://math.stackexchange.com/questions/39895/the-direct-sum-oplus-versus-the-cartesian-product-times">% Suma directa $\oplus$versus el producto cartesiano $\times$</a> </p> </blockquote> <p>¿Hay una diferencia en la prueba de mostrar dos grupos cíclicos $C_m\times C_n\cong C_{mn}$ donde $m,n$ son relativamente prima y mostrando que $C_m\bigoplus C_n$ de la $m,n$? ¿Hay una captura?</p>

Answer 1

Lo que sé, las dos notaciones significan lo mismo. Hay una diferencia si en lugar de dos grupos, tiene infinitamente muchos.

Answer 2

En cualquier categoría, un subproducto $A\oplus B$ se caracteriza por tener dos mapas de $A\to A\oplus B$ $B\to A\oplus B$ con la propiedad de que, dado cualquier par de mapas $f: A\to C$ $g: B\to C$ existe un único mapa $f\oplus g: A\oplus B \to C$ tal que $A\to A\oplus B \to C$ es el mapa $f: A\to C$ $B\to A\oplus B \to C$ es el mapa $g: B\to C$.

Doblemente, un producto de $A\times B$ se caracteriza por tener dos mapas de $A\times B \to A$ $A\times B \to B$ con la propiedad de que, dado cualquier par de mapas $f: C\to A$ $g: C\to B$ existe un único mapa $f\times g: C\to A\times B$ tal que $C\to A\times B \to A$$f$$C\to A\times B \to B$$g$.

En una categoría de aditivo (en la cual el cero mapas de sentido), las propiedades universales dar un canónica mapa de $A\oplus B \to A\times B$$\Gamma = (id_A\times 0) \oplus (0\times id_B)$. También tenemos los mapas compuestos $\alpha: A\times B \to A \to A\oplus B$$\beta: A\times B \to B \to A\oplus B$, y ya podemos añadir mapas que obtener un mapa $\Delta = \alpha + \beta: A\times B \to A\oplus B$. Ahora, podemos usar las propiedades universales para ver que $\Gamma$ $\Delta$ son inversas isomorphisms.