¿Por qué es $\int{0}^{\pi}{1\over 1-\sin x}dx=2\int{0}^{\pi\over 2}{1\over 1-\sin x}dx$, o ser más preciso: ¿por qué es $\int{\pi\over 2}^{\pi}{1\over 1-\sin x}dx=\int{0}^{\pi\over 2}{1\over 1-\sin x}dx$?
A lo mejor, sé que la zona $\sin x$ cubiertas entre $0$ $\pi\over 2$ tiene la misma magnitud entre $\pi\over 2$ $\pi$ pero no veo cómo formalmente conduce a la identidad anterior. ¿Me puede ayudar a comprender esto?
La integral de interés $\int_0^{\pi}\frac{dx}{1-\sin x}$ no converge. Por el contrario, aleja desde
$$1-\sin x=-\frac12 (x-\pi/2)^2+O\left((x-\pi/2)^4\right)$$
Si interpretamos el integral en el sentido de un valor Principal de Cauchy, entonces tenemos
$$\begin{align} \text{P.V.}\int0^{\pi}\frac{dx}{1-\sin x}&=\lim{\epsilon \to 0}\left(\int0^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}+\int{\pi/2+\epsilon}^{\pi}\frac{dx}{1-\sin x}\right)\\ &=\lim_{\epsilon \to 0}\left(\int0^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}+\int{0}^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}\right)\\ &=2\lim_{\epsilon \to 0}\int_0^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}\\ &=\infty \end {Alinee el} $$
Así, aunque podemos escribir
$$\int{\pi/2+\epsilon}^{\pi}\frac{dx}{1-\sin x}=\int{0}^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}$$
y por lo tanto escribir
$$\int0^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}+\int{\pi/2+\epsilon}^{\pi}\frac{dx}{1-\sin x}=2\int_0^{\pi/2-\epsilon}\frac{dx}{1-\sin x}$$
el límite como $\epsilon$ va a cero no existe y no nos podemos comparar $\int_0^{\pi}\frac{dx}{1-\sin x}$ como.
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