Esta pregunta es bastante general (en realidad estoy interesado en un entorno más específico, que mencionaré más adelante), y he encontrado preguntas/respuestas similares aquí, pero no parecen responder a lo siguiente:
Sea $R$ sea un anillo. ¿Existen condiciones sencillas para $R$ -módulos $M, A$ y $B$ para garantizar que $M \oplus A \cong M \oplus B$ implica $A \cong B$ ?
Obviamente, esto no es cierto en general: un simple contraejemplo viene dado por $ M= \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}, A = \mathbb{Z}, B = 0 $ . En el ámbito más específico que me interesa, $R$ es noetheriano, cada módulo está finitamente generado, es reflexivo y satisface $\text{Ext}_R^n(M,R) = 0$ para $n \geqslant 1$ (o sustituir $M$ con $A$ o $B$ ), y $A$ es proyectiva. En este caso, ¿tenemos el resultado deseado?
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Hay anillos $R$ donde $M\oplus R \cong R^3$ con $M$ no es isomorfo a $R^2$ (véase math.stackexchange.com/a/1248693/83337 ), que satisfacen todos sus supuestos excepto, posiblemente, la reflexividad.
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Esto se deduce del teorema de Krull-Remak-Schmidt cuando $M$ , $A$ y $B$ son noetherianos y artinianos (creo; no recuerdo las condiciones exactas).
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@PVAL: Hmm, no había visto ese duplicado. Pero sinceramente es la última parte la que realmente me interesa.
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@darijgrinberg: Bueno, en mi caso $M$ , $A$ y $B$ son todos noetéreos, pero ciertamente no hay razón para que sean artinianos.