División euclídea de polinomios

Question

Deje $f, g \in \mathbb{F}[x]$ ser de dos polinomios con $g \ne 0$. Existen $q, r \in \mathbb{F}[x]$ s.t. $f=qg + r$ $\deg\ r < \deg\ g$.

La verdad es que tengo la respuesta, pero necesitan un poco de orientación en la comprensión de la respuesta.

Prueba: Podemos probar, primero, la existencia única de $q, r$ tal que $f = qg+r$$\deg\ f \geq \deg\ g$.

Deje $f = a{_m}x^m$ $g = b{_n}x^n$ donde tanto $a{_m}$$b{_n} \ne 0$.

Para el caso base es donde $m - n = 0$. Por lo tanto,$m = n$, el cociente $q = a{_m}/b{_n}$ y $ r = f-qg$. $q$ es bien definido y el coeficiente de $x^m$ $r$ se desvanece, y donde $\deg\ r \lt m = \deg\ g$

Así que la primera pregunta es, ¿qué quieren decir cuando dicen que el coeficiente de $x^m$ a desaparecer? Entiendo que hemos definido el grado de g es mayor que el grado de r, y sospecho que se dividen o algo de ese tipo. Pero alguien puede aclarar esto?

Así que ese fue el caso base. La inducción de paso se define: $m = n + d$ donde $d \gt 0$. Deje $f' = f-(a{_m}/b{_n})x^{m-n}g$. Aviso de $\deg\ f' \lt \deg\ f$.

Así que mi segunda pregunta es ¿por qué ¿cómo el autor llegado a definir la $f' = f-(a{_m}/b{_n})x^{m-n}g$?

Luego sigue:

por inducción no existe $q', r$$\deg\ r \lt \deg\ g$$f'= q'g + r$. Por lo tanto $f = f' + (a{_m}/b{_n})x^{m-n}q=(q'+(a{_m}/b{_n})x^{m-n})g+r$.

Así que en este punto he de ser totalmente perdido en la inducción de paso. ¿Alguien puede ofrecer alguna orientación?

Answer 1

Esto hará probablemente más sentido si se trabaja con ejemplos reales. Otra buena cosa a hacer es revisar los conceptos detrás de la división larga y el algoritmo de la división por números, ya que la idea es apenas diferente a todos entre el número y el polinomio de configuración - hago hincapié en esto. Al hacer una división larga con los números en base diez, básicamente estás haciendo polinomio de la división larga con el número como un "polinomio" en la "variable" $x=10$, ya que cada número tiene una representación decimal de la forma $a_n10^n+\cdots+a_2100+10a_1+a_0$, aunque con cada una de las $0\le a_i<10$.

Supongamos que usted ha $f(x)$$g(x)$. ¿Qué haría usted personalmente para encontrar uno de los "más cercanos" (en cierto sentido) el polinomio de varios de $g(x)$ a de $f(x)$? Permítanme darles un ejemplo claro,

$$f(x)=3x^3+1,\quad g(x)=2x+1.$$

En primer lugar, vamos a entender qué noción de cercanía que tenemos en mente. Queremos que la cercanía de dos polinomios a ser determinado por la manera en muchos de los principales coeficientes que comparten. Así, para obtener una primera aproximación, ¿qué podemos multiplicar $g(x)$ por lo que el resultado de coeficiente inicial coincide con la de $f(x)$? Por qué, $\color{Red}{\frac{3}{2}x^2}$, por supuesto. Vemos que su diferencia no se da por un cúbicos, pero una ecuación cuadrática:

$$f(x)-\color{Red}{\frac{3}{2}x^2}g(x)=(3x^3+1)-\left(3x^3+\frac{3}{2}x^2\right)=-\frac{3}{2}x^2+1.$$

Podemos ir más allá y se descomponen $-\frac{3}{2}x^2+1$. Multiplicar $g(x)$$\color{Green}{-\frac{3}{4}x}$, de modo que su coeficiente inicial coincide con la de $-\frac{3}{2}x^2+1$. Por su diferencia obtenemos

$$\left(-\frac{3}{2}x^2+1\right)-\left(\color{Green}{-\frac{3}{4}x}g(x)\right)=\frac{3}{4}x+1.$$

Por último, debemos multiplicar $g(x)$ $\color{Blue}{\frac{3}{8}}$ de su coeficiente inicial para que coincida $\frac{3}{4}x+1$, y

$$\left(\frac{3}{4}x+1\right)-\color{Blue}{\frac{3}{8}}g(x)=\frac{5}{8}.$$

Por lo tanto, tenemos

$$f(x)=\left(\color{Red}{\frac{3}{2}x^2}\color{Green}{-\frac{3}{4}x}+\color{Blue}{\frac{3}{8}}\right)g(x)+\frac{5}{8}.$$

Observe que, en cada etapa, hemos reducido nuestro problema de "aproximar" un grado $n$ polinomio con múltiplos de $g(x)$ con que en la aproximación a un grado $n-1$ polinomio con múltiplos de $g(x)$, y aquí es donde la inducción entra en juego. Para pasar de un nivel de la inducción a los que ya de por sí supone caso, nos tomamos una diferencia por una "primera aproximación", que reduce el grado de lo que estamos tratando de aproximarse. (Ir de $f(x)$$f(x)-(a_m/b_n)x^{m-n}g(x)$, de menor grado.)

Revisión!

• http://en.wikipedia.org/wiki/Long_division
• http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division

Answer 2

Que el término principal de $\rm\:\ell(f) =\:$ de $\rm\:f,\:$ y $\rm\:d(f)=deg(f).\:$ $\rm\: d(g)

Por lo tanto un elemento $\rm\:r\:$ $\rm\:R = f - g\, \Bbb F[x]\:$ de grado por lo menos debe tener $\rm\:d(r)