Era curioso en cuanto a lo que sería la definición de $
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Se puede definir como sigue: $x\leq y \iff (\exists z)(z^2 = y-x)$
Ya que alguien votó para eliminar mi respuesta, pero no dejó un Comentario en cuanto a por qué es incorrecta esta respuesta, voy a explicar mi respuesta más a fondo.
Mi respuesta de considerar reales como un campo en el anillo lengua $\mathcal{L} ={1,0,\times,+, -}$. Reales como un campo son naturalmente una estructura en este idioma. Mi respuesta muestra que el $\leq$ es definible (en el sentido de la teoría de modelo) en la estructura de este idioma en particular.
Tanner Swett
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Depende de la definición de los números reales está utilizando.
Si usted definir los números reales como Dedekind cortes, entonces cada número real $x$ contiene un conjunto $A_x$ de los números racionales (que se pretende representar los números racionales que son menos de $x$). Con esta definición, la definición de $<$ es que el $x < y$ siempre $A_x$ es un subconjunto de a $A_y$.
Si usted definir los números reales como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy, entonces cada número real $x$ se considera una clase de secuencias de Cauchy $\{x_n\}$. Con esta definición, la definición de $<$ es que el $x < y$ cada vez, lo suficientemente grande para todos $n$, $x_n < y_n$, donde el $<$ operador de aquí es la definida en el racional números. (Pero para que esta definición sea válida, es necesario probar que se da la misma respuesta independientemente de que Cauchy secuencia es escogido de cada clase de equivalencia.)
Puede definir los números reales mediante la especificación de una lista de axiomas que deben obedecer y luego resulta que no es exactamente una estructura que satisface todos los axiomas. Si usted hace esto, entonces, el significado de $<$ no está definida explícitamente; es sólo el especificado por los axiomas.
Por último, hay una definición de $<$ que es independiente de la definición subyacente. Puede definir $\le$ diciendo que $x \le y$ cada vez que hay un número $z$ tal que $z^2 = y - x$. Entonces se puede decir que el $x < y$ siempre $x \le y$$x \ne y$; o, alternativamente, se puede decir que el $x < y$ cuando no es el caso que $y \le x$.
