Un colector completo de Riemann admite funciones de corte con primeras derivadas uniformemente limitadas

Question

Estoy leyendo un artículo que utiliza el siguiente hecho; parece ser estándar pero no estoy seguro de dónde buscar una prueba.

Reclamar. Deje que $M$ ser un colector completo de Riemann (se supone que es el segundo contable, así que no hay líneas largas). Hay una secuencia creciente de conjuntos abiertos $U_n$ con $ \bigcup_n U_n = M$ y funciones suaves y compactas $ \phi_n : M \to [0,1]$ de tal manera que $ \phi_n = 1$ en $U_n$ y $ \sup_n | \nabla \phi_n | < \infty $ .

Esto es trivial si $M$ es compacto (toma $U_n = M$ y $ \phi_n = 1$ ). Si dejamos de lado el requisito de que los derivados de $ \phi_n $ estar uniformemente delimitado, es una consecuencia de la $ \sigma $ -compactación de $M$ y el lema de Urysohn. Además, la integridad es esencial como podemos ver al tomar $M$ para ser un intervalo abierto.

Apreciaría una prueba (o al menos una pista) o una referencia.

Answer 1

Una idea es filtrar $M$ con bolas de distancia. Aquí hay un boceto.

Supongamos que $M$ es (conectado) no compacto y completo. Deje que $p \in M$ . Ponga $U_n = B(p,n)$ . Nota $U_n \subset U_{n+1}$ .

La integridad implica que la contención es apropiada: Por la no compacidad, $U_i$ está contenida de forma compacta en $M$ (de lo contrario $M$ sería cerrado y delimitado). Deje que $x_i \in \partial U_i$ ( $x_i$ también debería estar en el cierre del interior del complemento de $U_i$ ). Conecta $p$ a $x_i$ por una geodésica y por completo podemos extender la geodésica ligeramente. La extensión está contenida en $U_{i+1}$ pero no en $U_i$ .

Ahora bien, ya que se garantiza que la distancia entre $ \partial U_n$ y $ \partial U_{n+1}$ es siempre igual a $1$ puedes controlar la magnitud del derivado de $ \phi_n $ .

Para los que están leyendo, la dificultad parece estar en la construcción explícita de la $ \phi_i $ como funciones de corte.

[1] Aquí hay una construcción alternativa de la $U_i$ . Por la falta de compactación elija una secuencia $x_i$ sin subsecuente convergencia. Por completitud (la completitud métrica es equivalente a la completitud geodésica para los colectores de Riemann), para cualquier $p \in M$ arreglado, $d(p,x_i)$ aumenta sin límite. Elimina los puntos de las secuencias para que $d(p,x_i)$ es monótona en aumento y por ningún motivo $i,j$ es $d(x_i,x_j) < 1$ . Elija $U_i = B(p,d(p,x_i))$ . De nuevo, ya que la distancia entre el $U_i$ y $U_{i+1}$ no es menos que $1$ se obtiene un control uniforme sobre el gradiente de la función de corte.

Answer 2

Esto no es una respuesta sino un largo comentario. Echa un vistazo a las pruebas de Teorema 1 y Corolario 3 en este documento mientras construyen una aproximación suave de las funciones de Lipschitz en los colectores de Riemann, el esquema de aproximación que utilizan podría funcionar en su entorno también. El resultado que necesitas podría estar también contenido en los documentos anteriores de Greene y Wu (ver las referencias 7-9 en el enlace).