$\mathrm{E}[e^{u X}|\mathcal{A}] = \mathrm{E}[e^{u X}|\mathcal{B}]$ implica igualdad de distribuciones condicionales

Question

Que $X$ ser una variable aleatoria de la probabilidad espacio $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y $\mathcal{A} \subset \mathcal{B} \subset \mathcal{F}$ be a $\sigma$-subalgebras.

Quiero probar eso si $$ \mathrm{E}[e^{u X} | \mathcal {A}] = \mathrm{E}[e^{u X} | \mathcal {B}] tiene $$ para cualquier $u \in \mathbb{C}$ y $P(X\in \Gamma|\mathcal{A}) = P(X\in \Gamma|\mathcal{B})$ para cualquier % de borel $\Gamma$. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

1. Una sutileza aquí es que tenemos una cantidad no numerable de variables aleatorias, lo que es problemático en principio. Por ejemplo, es imposible discutir la continuidad de la $f_{\mathcal{A}}(u) = \mathbf{E}[e^{uX}\mid\mathcal{A}]$ debido a que se requiere de usted para buscar en una cantidad no numerable de variables aleatorias. (Este tipo de situación es típica cuando se trata con procesos estocásticos tales como el movimiento Browniano. Una solución típica que hay que darse cuenta de que la ley de un proceso estocástico en un camino adecuado espacio.)

2. Suponga que $X$ es un valor real y $e^{u \lvert X \rvert}$ es integrable para todos los $u>0$. Entonces existe una continua modificación de $f_{\mathcal{A}}$, lo que nos vuelve a denotar por $f_{\mathcal{A}}$. Por supuesto, cada valor de $f_{\mathcal{A}}(u)$ de esta modificación es una versión de $\mathbf{E}[e^{uX}\mid\mathcal{A}]$.

Deje $f_{\mathcal{B}}$ ser la continua modificación de $u\mapsto\mathbf{E}[e^{uX}\mid\mathcal{B}]$. Entonces, por la continuidad, en el caso de $\{ f_{\mathcal{A}}(u) = f_{\mathcal{B}}(u) \text{ for all } u \in \mathbb{C} \}$ es medible con probabilidad de $1$. El uso de estas versiones, podemos iniciar el condicional versión de la transformada de Fourier para mostrar la reclamación.

Deje $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ el espacio de Schwartz. Puesto que la transformada de Fourier $\varphi \mapsto \int e^{i\xi u}\varphi(u) \, du$ es un isomorfismo en $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, podemos considerar que su inversa transformar $\varphi \mapsto \check{\varphi}$. A continuación, para cada una de las $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$$A \in \mathcal{A}$,

\begin{align*} \mathbf{E}\left[ \left( \int \check{\varphi}(u)f_{\mathcal{A}}(iu) \, du \right) \mathbf{1}_{A}\right] = \int \check{\varphi}(u) \mathbf{E}[e^{iuX}\mathbf{1}_A] \, du = \mathbf{E}\left[ \varphi(X)\mathbf{1}_A \right] \end{align*}

y, por tanto, $\int \check{\varphi}(u)f_{\mathcal{A}}(iu) \, du = \mathbf{E}[\varphi(X)\mid\mathcal{A}]$ casi seguramente. Por el indistinguishability de $f_{\mathcal{A}}$$f_{\mathcal{B}}$, se deduce que el $\mathbf{E}[\varphi(X)\mid\mathcal{A}] = \mathbf{E}[\varphi(X)\mid\mathcal{B}]$ casi seguramente.

Finalmente, para cada uno de Borel $\Gamma \subseteq \mathbb{R}$, pick $\varphi_n \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ tal que $\varphi_n(X) \to \mathbf{1}_{\Gamma}(X)$ converge en $L^1(\mathbf{P})$. Luego de ello se sigue que

• $\mathbf{E}[\varphi_n(X) \mid \mathcal{A}] \to \mathbf{P}[X \in \Gamma \mid \mathcal{A}]$ $L^1(\mathbf{P})$ , y
• $\mathbf{E}[\varphi_n(X) \mid \mathcal{B}] \to \mathbf{P}[X \in \Gamma \mid \mathcal{B}]$ $L^1(\mathbf{P})$.

Por lo tanto, el límite debe coincidir en $L^1(\mathbf{P})$ y, por tanto,$\mathbf{P}$ -.s.

Answer 2

Yo haría algo así: En primer lugar, que su hipótesis implica que $\mathbb{E}[e^{uX}] < \infty ~\forall u \in \mathbb{R}$. deje $\forall u \in \mathbb{R}:~f_a(u) := \mathbb{E}[e^{u X} | \mathcal{A}]$$f_b(u) := \mathbb{E}[e^{u X} | \mathcal{B}]$. El uso de la asunción, uno puede ver que hasta un contable número de modificaciones de la función $f_a$ $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ y que: $$ \mathbb{P}(dw) ~a.s.~~f_a^{(n)}(u)= \mathbb{E}(X^n e^{u X} | \mathcal{A})$$

El mismo se aplican a $f_b$. De $f_a = f_b$ es de la siguiente manera en que $f_a^{(n)}(0) = f_b^{(n)}(0)$. Por lo tanto, $\mathbb{P}(dw) \text{ a.s. },~\mathbb{E}[X^n | \mathcal{A}] = \mathbb{E}[X^n | \mathcal{B}]$ donde el evento de probabilty cero puede ser elegido de forma independiente de $n$.

De esto se sigue que, si $f$ es un polinomio en $\mathbb{R}$, $\mathbb{P}(dw) \text{ a.s. },~\mathbb{E}[f(X) | \mathcal{A}] = \mathbb{E}[f(X) | \mathcal{B}]$. El resultado puede ser extendido a cualquier función continua $f$ con un tamaño compacto. Por tanto, no es difícil concluir, como el indicador de la función de cualquier conjunto cerrado puede ser arbitraria aproximada por una función continua.