¿Independencia de $\min(X,Y)$ y $\max(X,Y)$ para $X$ e $Y$ independientes?

Question

¿Cuál es la razón para verificar la independencia de

$$\min(X,Y)$$ y $$\max(X,Y)$$ para las variables aleatorias independientes $X,Y$?

¿Es posible que $\min$ y $\max$ seleccionen la misma variable aleatoria en cuyo caso serían dependientes? No, porque eso significaría que $X=Y$, es decir, $X$ e $Y$ no serían independientes.

¿Se aplica la independencia con respecto a funciones de variables aleatorias independientes aquí? Sí. En ese caso $X,Y$ independientes $\implies$ $\min(X,Y),\space \max(X,Y)$ independientes.

Answer 1

Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias continuas independientes, entonces $\max(X,Y)$ y $\min(X,Y)$ son variables aleatorias independientes si y solo si se cumple una de las siguientes dos condiciones:

• $P(X > Y) = 1$

• $P(X < Y) = 1$

Es importante tener en cuenta que las condiciones anteriores significan que $P(X=Y) = 0$, pero esto no implica que $(X=Y)$ sea el mismo evento que el evento imposible, es decir, no hay un resultado $\omega$ en el espacio muestral para el cual $X(\omega) = Y(\omega)$. Aquellos que estén confundidos por este concepto deberían recordar que les han dicho que para una variable aleatoria continua $V$, $P(V = a) = 0$ para todos los números reales $a, aunque es evidentemente cierto que $V$ puede tomar el valor $a$ para algún $a$ en particular, y si han aceptado eso, entonces aceptar que $P(X=Y)=0$ no significa que el evento $(X=Y)$ nunca ocurrirá es sólo un pequeño estiramiento adicional de su credulidad.

Cuando $X$ e $Y$ son variables aleatorias discretas independientes, entonces la condición anterior necesita ser relajada ligeramente, y es posible que $P(X=Y) > 0. Por ejemplo, si $(X,Y)$ toma los valores $(1,0), (2,0), (1,1), (2,1)$ con una probabilidad igual a $\frac 14$, entonces $(\min(X,Y), \max(X,Y))$ toma los valores $(0,1), (0,2), (1,1), (1,2)$ con probabilidad igual a $\frac 14$ y por lo tanto $\min(X,Y)$ y $\max(X,Y))$ son independientes. Un poco de reflexión mostrará que $(\min(X,Y), \max(X,Y))$ es lo mismo que $(Y,X)$ en este caso. Un poco más de reflexión mostrará que si $P(X=Y)>0$, entonces debe haber un único $a$ tal que $P(X=a, Y= a) >0$ y que para todos los demás números reales $b$, $P(X=b, Y= b) =0$. Para variables aleatorias discretas independientes $X$ e $Y$, la función de masa de probabilidad tiene valores distintos de cero en todos los puntos de una cuadrícula rectangular y esta cuadrícula debe estar estrictamente por debajo o por encima de la línea $x=y$ o debe tener solo un punto (la esquina superior izquierda o la esquina inferior derecha) en la línea $x=y$; el punto $(1,1)$ en el ejemplo anterior.

---

Una pregunta interesante de seguimiento es:

Cuando $X$ e $Y$ son variables aleatorias dependientes, ¿es posible que $\max(X,Y)$ y $\min(X,Y)$ sean variables aleatorias independientes?

a lo que la respuesta es Sí, es posible. Consideremos el caso en que $X$ e $Y$ son variables aleatorias continuas conjuntamente distribuidas de forma uniforme en el conjunto

$$\left\{(x,y)\colon \frac 12 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x-\frac 12\right\} \bigcup \left\{(x,y)\colon 0 \leq x \leq \frac 12, \frac 12 \leq y < x + \frac 12\right\}$$ La densidad conjunta del mínimo y máximo se puede calcular tal como se describe aquí donde se muestra que si $Z = \min(X,Y)$ y $W = \max(X,Y)$, entonces $$f_{Z,W}(z,w) = \begin{cases} f_{X,Y}(z,w) + f_{X,Y}(w,z), & \text{si}~w > z,\\ \\ 0, & \text{si}~w < z. \end{cases} $$ Aplicando esto, se puede demostrar que la densidad conjunta de $Z$ y $W$ es uniforme en el interior del cuadrado con vértices $(0,\frac 12), (\frac 12, \frac 12), (\frac 12, 1), (0,1)$, y así $Z \sim U[0,\frac 12]$ y $W \sim U[\frac 12,1]$ son variables aleatorias independientes.