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Question

Si $n$ es un número entero positivo encontrar $$ \int_{0}^{2\pi} \frac {(1+2\cos\theta)^n\cos(n\theta)}{3+2\cos\theta} \operatorname{d}\theta $$

Sé que tengo que usar contorno integral con un círculo de radio 1 centrada en el origen, pero estoy teniendo problemas con la conversión de la integral en la forma $\int_{|z|}$

$$\int_{|z| = 1} \frac{(1+z+1/z)^n\cos(n\theta)}{3+(z+1/z)} \frac{1}{iz} \operatorname{d}z$$

Me parece que no puede encontrar una manera de expandir $\cos(n\theta)$ en función de la $z$.

A partir de la ecuación anterior, puedo conseguir que los polos de la es $z = -1.5 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ y sólo el residual de $z = -1.5 + \frac{\sqrt{5}}{2}$ debe ser incluido.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\cos{n \theta} = \frac12 \left ( z^n + z^{-n}\right )$$

así en su sustitución, que

$$-\frac{i}{2} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac{(1+z+z^{-1})^n (z^n+z^{-n})}{3+z+z^{-1}}$$

Esto puede ordenarse para obtener

$$-\frac{i}{2} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^{2 n}} \frac{(1+z+z^2)^n (1+z^{2 n})}{1+3 z+z^2} $$

Hay postes donde $z^2+3 z+1=0$, o

$$z_{\pm} = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$$

es decir, $z- = -\phi^2$, $z+=-1/\phi^2$, donde $\phi=(\sqrt{5}+1)/2$. Así sólo $z_+$ dentro del círculo unidad y contribuye a la integral.

Para el poste en $z=0$, puede ser más fácil encontrar el coeficiente de $z^{2 n-1}$ en la expansión de Maclurin de

$$\frac{(1+z+z^2)^n (1+z^{2 n})}{1+3 z+z^2} $$

No es una tarea fácil. Buena suerte.

Answer 2

Porque no puedo enviar un comentario, enviar una respuesta. Arce lo calcula para valores concretos de $n$. Espero que los siguientes podrían ser útiles: el arce del comando $$[seq(int((1+2cos(theta))^ncos(ntheta)/(3+2cos(theta)), theta = 0 .. 2*Pi), n = [5, 10, 15, 30])] $% $ $ produces $[-1760\, \pi + {\frac {3936} {5}} \,\sqrt {5} \pi,-6927360\, \pi + {\frac {15490048} {5}} \,\sqrt {5} \pi,-27264286720\, \pi + {\frac {60964798464} {5}} \,\sqrt {5} \pi,-1662161745149511598080 \,\pi + {\frac {3716706651753989275648} {5}} \,\sqrt {5} \pi]. $$