¿Qué es un módulo trivial?

Question

Sí, este es un muy básico de la respuesta, pero tengo que admitir que para ser absolutamente confundido acerca de esta noción.

Búsqueda en la web, me las arreglé para encontrar dos posibles definiciones de trivial módulos, refiriéndose en realidad a dos diferentes objetos matemáticos.

La primera es el singleton conjunto con la única posible estructura del módulo, llamado también el módulo cero.

La segunda, que es la definición de que es lo que me llevó a ser confuso y un poco atascado después de tantas horas de estudio, es la siguiente:

Deje $A$ ser un anillo, $M$ un grupo abelian. $M$ se llama trivial módulo de si se trata de un módulo dotado con el trivial de acción.

Pero...¿qué es exactamente un trivial de acción? Sí, por supuesto, la primera de las cosas que yo creo que es la trivial $ax=x$ por cada $x \in M$, pero hay algo mal con él, porque directamente de los axiomas de los módulos que tengo:

para cada una de las $x \in M, (1+1)x = x$ (porque la acción es trivial), y $(1+1)x = 1x+1x=x+x$ que implica la $x = 0$, es decir, $M$ es el grupo $0$.

Por favor, me podrían ayudar en la comprensión de lo que me estoy perdiendo? Muchas gracias!!!

Ps: esta pregunta está relacionada con esta (De $G$-mod a $\mathbb{Z}G$-mod y una pregunta relacionada.) donde yo creía haber entendido esta definición :)

Answer 1

Acción trivial del anillo $A$ en el Grupo abeliano $M$:

$am=0$ % todo $a\in A$y $m\in M$.

Si $A$ tiene un elemento de identidad y se plantea el axioma $1x=x$, entonces esto obliga $m=1m=0$ % todo $m$, por lo tanto, $M={0}$.

Answer 2

Usted parece ser algo confuso diferentes nociones de módulo.

• $G$-módulo sería un grupo abelian $M$ con la acción de un grupo de $G$ compatible con la adición. (Esto puede muy bien ser el trivial de acción.)

• $R$-módulo, o simplemente módulo, donde $M$ es un grupo abelian y uno tiene la multiplicación escalar con los elementos del anillo de $R$ similar a la del caso del vector de espacios. (Esto también puede ser entendido como una instancia de la ex.)

Para hacer la materia peor no es raro tener un $R$-módulo con un grupo adicional de acción.